微分幾何/弧長

向量函式 $f$ 在區間 $[a,b]$ 上的長度定義為

$\sup \left\{x{\Bigg |}t_{n}\in [a,b],t_{n}<t_{n+1},x=\sum _{k=1}^{n}{\Big |}f(t_{k})-f(t_{k-1}){\Big |}\right\}$

如果這個數字是有限的，那麼這個函式是可求長的。

對於連續可微的向量函式，該向量函式在區間 $[a,b]$ 上的弧長將等於 $\int \limits _{a}^{b}\left|{\vec {f}}'(x)\right|dx$ 。

證明

考慮一個劃分 $a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b$ ，並將其稱為 $P_{n}$ 。令 $P_{n+1}$ 為劃分 $P_{n}$ 新增一個點後的劃分，令 $\lim _{n\to \infty }\max\{t_{n}-t_{n-1}\}=0$ ，令 $l_{n}$ 為連線向量函式的 $f(x)$ 線段的弧長。根據均值定理，在第 n 個劃分中存在一個數字 $t_{n}'$ ，使得

${\sqrt {\sum _{i=1}^{3}{\Big (}x_{i}(t_{n})-x_{i}(t_{n-1}){\Big )}^{2}}}=(t_{n}-t_{n-1}){\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{n}')}}$

因此，

$l_{n}=\sum _{j=1}^{n}{\sqrt {\sum _{i=1}^{3}{\Big (}x_{i}(t_{j})-x_{i}(t_{j-1}){\Big )}^{2}}}=\sum _{j=1}^{n}(t_{j}-t_{j-1}){\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j}')}}$

它等於

$\sum _{j=1}^{n}(t_{j}-t_{j-1}){\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j})}}+\sum _{j=1}^{n}(t_{j}-t_{j-1})\left({\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j}')}}-{\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j})}}\right)$

這個值

${\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j}')}}-{\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j})}}$

將記為 $d_{j}$ 。根據三角不等式，

$d_{j}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{3}(x_{i}'(t_{j}')-x_{i}'(t_{j}))^{2}}}\leq \sum _{i=1}^{3}{\Big |}x_{i}'(t_{j}')-x_{i}'(t_{j}){\Big |}$

每個分量至少連續可微一次。因此，對於任何 $\varepsilon >0$ ，存在一個 $\delta >0$ 使得

${\Big |}x_{i}'(a)-x_{i}'(b){\Big |}<{\frac {\varepsilon }{3}}$ 當 $|a-b|<\delta$ 。

因此，如果 $\max\{t_{n}-t_{n-1}\}<\delta$ 那麼 $d_{j}<\varepsilon$ ，因此

$\left|\sum _{j=1}^{n}(t_{n}-t_{n-1})\right|d_{j}<\varepsilon (b-a)$ 當 n 趨於無窮大時，它趨於 0。

因此，數量

$\sum _{j=1}^{n}(t_{j}-t_{j-1}){\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j})}}+\sum _{j=1}^{n}(t_{j}-t_{j-1})\left({\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j}')}}-{\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j})}}\right)$

趨近於積分 $\int \limits _{a}^{b}\left|{\vec {f}}'(x)\right|dx$ ，因為右邊的項趨於 0。

如果存在從 $[a',b']$ 的另一個引數表示，並且獲得另一個弧長，那麼

$\int \limits _{a'}^{b'}{\sqrt {\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}}}\left|{\frac {dt}{dt'}}\right|dt'=\int \limits _{a'}^{b'}{\sqrt {\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {dx_{i}}{dt'}}\right)^{2}}}dt'$

表明它對於任何引數表示都是相同的。

函式 $s(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}\left|{\vec {f}}'(x)\right|dx$，其中 $t_{0}$ 為常數，稱為曲線的弧長引數。它的導數結果為 ${\Big |}f'(x){\Big |}$。