微分幾何/基本概念

考慮n個函式，x₁(t), x₂(t), x₃(t), ..., x_n(t)。然後考慮Rⁿ中的向量f函式，它由f(t)=(x₁(t), x₂(t), x₃(t), ..., x_n(t))給出，稱為集合M的引數表示，其中M是該函式的像。

這裡將考慮的點集必須能夠用引數表示（稱為允許的引數表示）f(t)表示，其中

1. 函式f是連續可微的。
2. 導數f'(t)對於所有t均不等於零向量。

這裡最重要的不是向量函式的單個引數表示，而是具有相同性質的向量函式的等價類。這些等價類稱為弧。

集合的兩個引數表示f₁(x)和f₂(x)被稱為等價的，如果

1. f₁⁻¹(f₂(t))在閉區間[a,b]上定義。
2. f₁⁻¹(f₂(t))是連續可微的。
3. f₁⁻¹(f₂(t))≠0對於所有t∈[a,b]

向量函式f(t₁)=f(t₂) (t₁≠t₂)中的一個點稱為多點。沒有多點的弧是簡單的。

弧本身作為向量函式是連續的。設$\epsilon >0$. 由於每個$x_{k}$是連續的，因此對於每個$k$存在一個$\delta _{k}$，使得

$\left|x_{k}(t_{1})-x_{k}(t_{2})\right|<{\frac {\epsilon }{\sqrt {n}}}\quad {\text{if}}\quad \left|t_{1}-t_{2}\right|<\delta _{k}$

設δ = min{δ_k}。那麼當|t₁-t₂|<ε時，|f(t₁)-f(t₂)|=${\sqrt {\textstyle \sum _{k=1}^{n}(x_{k}(t_{1})-x_{k}(t_{2}))^{2}}}$<ε.

因此，所有簡單弧都與線段同胚。

最後，曲線是可以用弧表示的點集，使得對於弧中的所有函式，存在一個區間，其像為曲線，並且該區間的任何子區間都是某個集合的允許引數表示。

閉曲線是用週期函式表示的曲線。所有閉曲線都與圓同胚。