微分幾何/密切平面

術語密切平面，最早由 Tinseau 在 1780 年使用，是指由函式 f(t) 引數化的曲線 C 在點 f(a) 處的平面，當 x 和 y 都趨近於 a 時，該平面由兩個向量 f(x)-f(a) 和 f(y)-f(a) 張成。

首先，假設曲線 C 至少是 2 類的。

然後考慮點 $x$，$x+h_{1}$，和 $x+h_{2}$，並考慮點 $P=f(x)$，$P_{1}=f(x+h_{1})$，和 $P_{2}=f(x+h_{2})$。線段 $PP_{1}$ 和 $PP_{2}$ 是向量 $s_{i}=f(x+h_{i})-f(x)$。如果這些向量線性無關，則它們張成一個平面。

我們可以將這些向量中的每一個除以 $h_{i}$，這意味著該平面也由向量 $a_{i}={\frac {s_{i}}{h_{i}}}$ 張成。

我們還可以用 $b={\frac {2(a_{2}-a_{1})}{h_{2}-h_{1}}}$ 替換第二個向量，很容易看出 $a_{1}$ 和 w 與原始向量張成相同的平面。

使用泰勒公式，我們得到

$f(x+h_{i})-f(x)=h_{i}f'(x)+{\frac {h_{i}}{2!}}f''(x)+o(h_{i}^{2})$.

這表明 $a_{1}=f'(x)+{\frac {h_{1}}{2}}f''(x)+o(h_{1})$ 以及 $b=f''(x)+o(1)$

因此，當 $h_{1}$ 和 $h_{2}$ 都趨近於 0 時，$a_{1}$ 趨近於 f'(x)，而 $b$ 趨近於 f(x)。因此，密切平面由 f'(x) 和 f(x) 張成，並且包含切線。

考慮密切平面上任意一點的位置向量 $x_{1}$。

那麼，以下標量三重積顯然等於 0

$|(x_{1}-f(x))f'(x)f''(x)|=0$.

密切平面與法平面的交線稱為主法線。

如果恰好 f'(x) 和 f(x) 線性相關，那麼我們可以認為包含切線的每個平面都是密切平面。