微分幾何/扭轉

考慮一條至少為 3 階的光滑曲線，且曲率不為零。

我們現在將考慮密切平面的變化率。當然，當曲線為平面曲線時，密切平面與曲線的平面相同，所以它不會改變，因此，副法向量也不會改變。換句話說，副法向量的導數，${\frac {db}{ds}}$，為 0。

因此，讓我們考慮副法向量的導數。

考慮兩個方程 $b\cdot b=1$ 和 $b\cdot t=0$，並對它們關於弧長引數進行微分，得到 $b\cdot {\frac {db}{ds}}=0$ 和 ${\frac {db}{ds}}\cdot t+b\cdot {\frac {dt}{ds}}$，因此 ${\frac {db}{ds}}\cdot t=-b\cdot {\frac {dt}{ds}}=-\kappa b\cdot p=0$，表明 ${\frac {db}{ds}}$ 同時垂直於 **b** 和 **p**，因此位於主法線上。因此，我們將扭轉定義為 $\tau (s)$，即它們之間的比例

${\frac {db}{ds}}(s)=-\tau (s)p(s)$

負號的存在是為了使扭轉對於右手螺旋為正值。

我們可以對等式兩邊取點積，得到 $\tau (s)=-p(s)\cdot {\frac {db}{ds}}(s)$

它的倒數，${\frac {1}{\tau }}$，稱為**扭轉半徑**。

練習

1. 證明一條曲線是平面曲線當且僅當它的扭轉在每一點處都是零向量。