數字訊號處理/離散時間傅立葉變換

離散時間傅立葉變換 (DTFT) 是所有 DSP 的基石，因為它告訴我們，從連續函式的離散樣本集，我們可以建立該函式的週期性求和 傅立葉變換。至少，我們可以重建實際變換及其逆變換（原始連續函式）的近似值。在某些理想條件下，我們可以完全不失真地重建原始函式。這個著名的定理被稱為奈奎斯特-夏農取樣定理.

DTFT

[DTFT]

$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$

得到的函式，$X(e^{j\omega })$ 是一個連續函式，對於分析很有趣。它可以在諸如 Matlab 之類的程式中使用，來設計濾波器並獲得相應的時域濾波器值。

DTFT 卷積定理

與 CTFT 一樣，DTFT 也與卷積定理相關。然而，由於 DTFT 產生離散頻率值，因此卷積定理需要進行如下修改。

DTFT 卷積定理

連續時間域的乘法變成離散頻率域的離散卷積。連續時間域的卷積變成離散頻率域的乘法。

能量

有時計算特定集合中存在的能量量非常有用。這些計算基於這樣的假設，即集合中的不同值是電壓值，但並不一定需要如此才能使用這些運算。

我們可以證明，給定集合的能量可以用以下公式給出

${\mathcal {E}}_{x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]\right|^{2}$

頻域能量

同樣，我們可以建立一個公式來表示 DTFT 的連續頻率輸出的功率。

${\mathcal {E}}_{x}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left|X(e^{j\omega })\right|^{2}d\omega$

帕塞瓦爾定理

帕塞瓦爾定理指出，時域中找到的能量量必須等於頻域中找到的能量量。

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]\right|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left|X(e^{j\omega })\right|^{2}d\omega$

功率譜密度

我們可以將 DTFT 的連續時間頻率輸出的功率譜密度定義如下

$S_{xx}(e^{j\omega })=\left|X(e^{j\omega })\right|^{2}$

功率譜密度曲線下的面積是訊號的總能量。