數字訊號處理/衝激響應

假設我們有以下框圖

h[n]被稱為數字系統的'衝激響應。本章將討論衝激響應。

衝激函式

在數位電路中，我們使用連續時間狄拉克函式的變體。這個狄拉克函式（δ[n]）在n = 0處的值為1，在其他地方的值為0。

δ[n] = [... 0 0 0 0 1& 0 0 0 0 ...]

如果我們設定x[n] = δ[n]，那麼輸出y[n]將是系統對沖激的響應，或者簡單地說，是“衝激響應”。

我們可以這樣對沖激函式進行時間偏移

δ[n-1] = [... 0 0 0 0& 1 0  0 0 0 ...]
δ[n+1] = [... 0 0 0 0  1 0& 0 0 0 ...]

我們可以新增時間偏移的衝激函式值來建立衝激串：

y[n] = δ[n] + δ[n-1] + δ[n-2] + [n-4]
y[n] = [1& 1 1 0 1]

衝激響應

如果我們有一個將y[n]與x[n]關聯的差分方程，我們可以透過將每個y替換為h，每個x替換為δ來找到衝激響應差分方程

y[n] = 2x[n] + 3x[n-1] + 4x[n-2]
h[n] = 2δ[n] + 3δ[n-1] + 4δ[n-2]

透過對n代入連續的值，我們可以計算出衝激響應為

h[n] = [2& 3 4]

輸出

現在，假設我們有一個給定的衝激響應h[n]，並且我們有一個給定的輸入x[n]

x[n] = [1& 0 1 2]
h[n] = [2& 2 2 1]

我們可以將輸出y[n]計算為這兩個量的卷積

x[n]    ->       1& 0 1 2
h[-n]   ->       1  2 2 2&
h[-n-3] -> 1 2 2 2&               -> y[m-3] = 2&
h[-n-2] ->   1 2 2  2&            -> y[m-2] = 2
h[-n-1] ->     1 2  2 2&          -> y[m-1] = 4
h[-n]   ->       1  2 2 2&        -> y[m]   = 7
h[-n+1] ->          1 2 2 2&      -> y[m+1] = 6
h[-n+2] ->            1 2 2 2&    -> y[m+2] = 5
h[-n+3] ->              1 2 2 2&  -> y[m+3] = 2

y[n] = [2& 2 4 7 6 5 2]