分佈理論/Bump 函式

初步定義

定義:

設 $\varphi :U\to \mathbb {R}$ 是一個函式，其中 $U$ 是 $\mathbb {R} ^{d}$ 的一個開子集。我們說

$\varphi \in {\mathcal {C}}^{k}(U)$ 當且僅當 $\varphi$ 的所有偏導數，直到 $k$ 階，都存在且連續
$\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)$ 當且僅當 $\varphi$ 的所有偏導數，無論何階，都存在且連續。

定義:

設 $(X,\tau )$ 是一個拓撲空間，設 $f:X\to \mathbb {R}$ 是一個函式。那麼 $f$ 的支撐集定義為集合

\operatorname {supp} f:={\overline {\left\{x\in X|f(x)\neq 0\right\}}}

;

右邊的集合上方的橫線表示拓撲閉包。

定義:

Bump 函式是從開集 $U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 到 $\mathbb {R}$ 的函式 $\varphi$ ，滿足以下兩個條件

$\operatorname {supp} \varphi$ 是緊緻的
$\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)$

多重指標記號

多重指標記號是一種在多維空間中有效表示多種事物的記號。例如，用傳統方式表示偏導數需要相當長的時間。在傳統記號中，偏導數用以下方式表示：

\partial _{1}^{k_{1}}\cdots \partial _{d}^{k_{d}}f

對於某些 $k_{1},\ldots ,k_{d}\in \mathbb {N}$ 。現在，在多重指標記號中， $k_{1},\ldots ,k_{d}$ 被組合成一個向量 $\alpha =(k_{1},\ldots ,k_{d})$ ，並且用以下術語代替上面使用的偏導數記號：

\partial _{\alpha }f

現在，對於一個偏導數來說，這可能不是一個巨大的優勢（除非討論的是一個通用的偏導數），但例如當對一個多項式 $p$ 進行所有偏導數的求和時，例如，我們會得到以下表達式：

\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}\partial _{\alpha }p

（請注意，這定義良好，因為求和是有限的。）

現在，將此與更長的表示式進行比較：

\sum _{k_{1}=1}^{\infty }\cdots \sum _{k_{n}=1}^{\infty }\partial _{1}^{k_{1}}\cdots \partial _{d}^{k_{d}}p

;

正如您所看到的，我們節省了大量時間，這就是多重指標記號的意義所在。多重指標記號是由洛朗·施瓦茨發明的。

其他多重指標約定如下（我們使用貝拉·博洛巴斯的約定，並用 $[d]:=\{1,\ldots ,d\}$ 表示）：

多重指標偏序關係： $(k_{1},\ldots ,k_{d})\leq (m_{1},\ldots ,m_{d}):\Leftrightarrow \forall j\in [d]:k_{j}\leq m_{j}$
多重指標階乘： $(k_{1},\ldots ,k_{d})!:=k_{1}!\cdots k_{d}!$
多重索引二項式係數：令 $\alpha =(k_{1},\ldots ,k_{d})$ 和 $\beta =(m_{1},\ldots ,m_{d})$ 是多重索引，則 ${\binom {\alpha }{\beta }}:={\binom {k_{1}}{m_{1}}}\cdots {\binom {k_{d}}{m_{d}}}$
多重索引冪：此外，令 $x=(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ ，則令 $x^{\alpha }:=x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{d}^{k_{d}}$
常數多重索引：如果 $n\in \mathbb {N}$ ，我們用粗體 $\mathbf {n}$ 表示常數多重索引 $(n,\ldots ,n)$ 。
多重索引可微性：我們寫 $f\in {\mathcal {C}}^{\alpha }(U)$ 當且僅當偏導數 $\partial _{\beta }f$ 存在於所有 $\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 且 $\beta \leq \alpha$ 。

此外，多重索引 $\alpha =(k_{1},\ldots ,k_{d})$ 的 *絕對值* 定義為

|\alpha |:=\sum _{j=1}^{d}k_{d}

.

以下是一些關於多重索引的示例定理（我們經常需要它們）

定理（多重索引二項式公式）:

令 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是一個多重索引， $x,y\in \mathbb {R} ^{d}$ 。那麼

(x+y)^{\alpha }=\sum _{\mathbf {0} \leq \beta \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\beta }}x^{\beta }y^{\alpha -\beta }

.

請注意，這個公式與一維情況下的公式完全相同，只是將一維變數替換為多維變數。這將是一個反覆出現的現象。

證明:

我們透過歸納法證明定理，歸納物件為 $|\alpha |$ 。當 $|\alpha |=0$ 時，情況很清楚。現在假設定理已經在 $|\alpha |=n$ 處得到證明，並且讓 $|\alpha |=n+1$ 。那麼 $\alpha$ 至少有一個非零分量；假設 $\alpha$ 的第 $j$ 個分量為非零。則 $\alpha ':=\alpha -e_{j}$ （ $e_{j}$ 表示第 $j$ 個單位向量，即 $e_{j}=\left(0,\ldots ,0,\overbrace {1} ^{j{\text{-th place}}},0,\ldots ,0\right)$ ）是一個絕對值為 $n$ 的多維指標。根據歸納假設，