分佈理論/支撐集和奇異支撐集

定義（在開集上為零）:

設$M$ 為一個光滑流形，設$U\subseteq M$ 為開集，並設$T\in {\mathcal {D}}'(U)$。設$V\subseteq U$ 為開子集。我們說$T$ **在**$V$**上為零**當且僅當對於所有$\varphi \in {\mathcal {D}}(V)$，我們有$T(\varphi )=0$。

命題（分佈在開集並集上為零）:

設$U\subseteq M$（$M$ 為光滑流形），並設$T\in {\mathcal {D}}'(U)$。假設$T$ 在一系列開子集$V_{\alpha }\subseteq U$（$\alpha \in A$）上為零。則$T$ 也在

$V:=\bigcup _{\alpha \in A}V_{\alpha }$.

證明：令$\varphi \in {\mathcal {D}}(V)$。則$K:=\operatorname {supp} \varphi$是$V$的一個緊子集。因此，提取一個有限子覆蓋$K\cap V_{\alpha _{1}},\ldots ,K\cap V_{\alpha _{n}}$。然後在$K$上選擇一個有限單位分解，這些函式從屬於$V_{\alpha _{1}},\ldots ,V_{\alpha _{n}}$（利用$K\cap \bigcup _{i\neq j}(V\setminus V_{\alpha _{i}})$是$V_{\alpha _{j}}$的一個緊子集，並用足夠小的支撐的軟化函式與該指示函式進行卷積），並使用$T$的線性性。 $\Box$

定義（支撐）:

令$T\in {\mathcal {D}}'(U)$，其中$U$是光滑流形的一個開子集。$T$的支撐是集合

$U\setminus \bigcup V$,

其中並集取遍所有開集$V\subseteq U$，在這些開集上$T$為零。