電和磁/磁學

磁體

與電力一樣，磁力也服從異性相吸的原理。磁體總是具有兩個磁極，一個北極自然地吸引地球的南磁極，一個南極自然地吸引地球的北磁極。在指南針中，磁針的北極指向地球的地理北極。因此，地理南北極在與磁南北極的關係中是相反的。

當磁體相互吸引時，它們以一種特殊的方式進行。一個磁體的北極粘在另一個磁體的南極，就好像磁性選擇了69的色情一樣。

與電力不同，從未發現過孤立的磁荷。顯然，自然界不歡迎磁單極子。磁體總是偶極子。如果我們在兩個磁極之間的中間切開一塊磁鐵，我們不會得到兩個單極子，而是得到兩個新的偶極子，兩個新的磁鐵，每個磁鐵都有兩個磁極。

解釋是假設磁性材料是由所有排列在同一方向的微觀磁體組成的。

靜磁學是研究靜止磁體之間磁力的學科。磁力的計算類似於電力的計算，除了我們用偶極子進行推理，而從不用單極子進行推理。

類似於電場 $\mathbf {E}$ 用於電荷，磁場 $\mathbf {B}$ 就像一個數學中介，它被用來計算磁化材料之間的力。它也被用來計算磁體對運動電荷的力、運動電荷對磁體的力以及運動電荷之間的力。但它也遠遠超過一個數學中介，因為它具有自主的存在。

磁力是由電流產生的

磁體自然地垂直於電流方向排列。其方向取決於電流的方向。因此，電流是磁力的來源。這是漢斯·克里斯蒂安·奧斯特在 1820 年的發現。

如果我們切斷電流，這種磁力就會消失。

安培得出結論，電流可以像磁體一樣工作。這一結論使他發現了安培定律（1825 年）。

兩根平行導線，如果電流方向相同，則相互吸引；如果電流方向相反，則相互排斥。

兩根通電導線之間的力是磁力。它不可能是電力，因為兩根導線都是電中性的。

電流的測量單位安培是從兩根通電導線之間的磁力定義的。

"安培是指在真空中，保持在兩根無限長、圓形截面可忽略不計的直平行導體中，相距一米的距離，所產生的力為每米長度 2×10⁻⁷ 牛頓的恆定電流。"（國際計量局，1948 年）。

由於 1 A = 1 C/s，所以安培的定義也定義了庫侖。

當安培發現他的定律時，電子還沒有被發現，所以安培不能被定義為電子流。現在已經發現了電子，並且其電荷 -q = -1.602 176 487 ×10⁻¹⁹ C 已被精確測量，我們可以透過形成 1 C 所需的電子數來定義安培：1 安培 = 6.241509074×10¹⁸ 電子每秒，大約每秒六百萬億個電子。

電流回路就像磁體一樣。如果電流方向相同，兩個平行迴路相互吸引；如果電流方向相反，則相互排斥。因此，電流回路是磁偶極子。

電流回路產生的磁場類似於電偶極子產生的電場。

安培假設磁體的磁力是由微觀電流回路產生的。我們現在知道它主要來自電子的自旋。電子是磁偶極子，因為它們的行為就像旋轉的陀螺一樣。電子的旋轉不是電流，但其效果類似於微觀電流回路。

與電場一樣，多個來源產生的磁場是每個來源單獨產生的磁場的總和。對於兩根平行導線，如果電流方向相反，我們透過向量和得到總場。

地球的磁場是由其不斷運動的液態鐵核在地球中心產生的。

電動力學中的庫侖定律

為了計算運動電荷之間的力，我們需要廣義的庫侖定律。

如果一個電荷在一個慣性參考系中永遠靜止，那麼它對運動電荷的作用力與靜止時對該電荷的作用力相同，無論該電荷是否靜止在同一位置。

如果一個電荷在一個慣性參考系中永遠靜止，那麼它作為來源的電場有時間傳播到整個空間並建立起來。

如果一個電荷被加速，那麼不存在一個慣性參考系，在這個參考系中它永遠靜止。它在某個時刻在其靜止系中作為來源的庫侖場需要時間傳播。在稍後的時間，它是在另一個靜止系中另一個庫侖場的來源。這就是加速電荷是傳播到整個空間的電磁波的來源的原因。光是由加速的電荷產生的。

靜止電荷不是光的來源，因為在它周圍建立的電場中不會傳播波。

廣義的庫侖定律可以計算任何相對於彼此作勻速直線運動的電荷系統的電場力場。為了計算所有電荷的作用力，我們計算每個電荷單獨作用力的總和。為了計算一個電荷的作用力，我們考慮它靜止的參考系，並計算庫侖力。然後，洛倫茲變換就可以計算出這個力在任何參考系中的大小。

（動畫：勻速直線運動的電荷產生的庫侖場）

電流的磁力是菲茨傑拉德收縮和庫侖力的結果

菲茨傑拉德收縮是指所有固體在運動方向上的收縮。只有當物體的速度 $v$ 接近光速 $c$ 時，收縮才會明顯。收縮因子是 ${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$.

當帶電體收縮時，其電荷密度會增加。這種效應是電流磁力的起源。正負電荷的相對運動會導致電荷密度差異，從而產生靜電力。這些靜電力在一個參考系中是磁力，在另一個參考系中則是靜電力。

我們可以用兩根相互滑動、帶相反電荷的絕緣線來模擬一條載有電流的導線。設$\lambda$是假設靜止的正線的電荷密度，$\lambda _{-}$是負線的電荷密度，其以速度$v$運動。電流$I=\lambda _{-}v$。

負線代表傳導電子，正線代表金屬線的其餘部分。在金屬線靜止的參考系R中，它在電氣上是中性的。因此在這個參考系中$\lambda _{-}=-\lambda$。

設R'是相對於R以速度$v$運動的參考系，$\lambda '_{-}$和$\lambda '_{+}$是在R'中測量的負電荷和正電荷的密度。因此，負線在R'中靜止。

$\lambda '_{+}=\gamma \lambda _{+}$，因為從R'的角度來看，正線在運動方向上收縮。 $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$是長度收縮係數的倒數。

$\lambda _{-}=\gamma \lambda '_{-}$，因為從R的角度來看，負線在運動方向上收縮。

所以$\lambda '_{-}\neq -\lambda '_{+}$。

從R'的角度來看，正線和負線的疊加並不是電氣中性的，因此它是靜電場的來源。

考慮一個在R中以速度$v$運動，距離導線$a$的電荷$q$。正線對電荷$q$的作用力F₊垂直於導線

在R中測量，

$F_{+}={\frac {\lambda _{+}q}{2\pi a\epsilon _{0}}}$

該結果由麥克斯韋方程組章節中的高斯定理證明。

電荷 $q$ 在 R' 中靜止。負電線對電荷 $q$ 所施加的靜電力 $F'_{-}$ 垂直於電線。

$F'_{-}={\frac {\lambda '_{-}q}{2\pi a\epsilon _{0}}}=-{\frac {\lambda _{-}q}{2\pi a\epsilon _{0}\gamma }}$

在 R 中測量的負電線對電荷 $q$ 的力 $F_{-}$ 等於 $F'_{-}/\gamma$。因此，電荷 $q$ 受到一個力

$F_{+}+F_{-}={\frac {\lambda _{+}q(1-1/\gamma ^{2})}{2\pi a\epsilon _{0}}}={\frac {\lambda _{+}qv^{2}}{2\pi a\epsilon _{0}c^{2}}}=-{\frac {Iqv}{2\pi a\epsilon _{0}c^{2}}}$

如果我們設定 $B=-{\frac {I}{2\pi a\epsilon _{0}c^{2}}}$，我們得到

$F_{L}=F_{+}+F_{-}=qvB$

$B$ 是由無限長導線中的電流 $I$ 產生的磁場 $\mathbf {B}$ 的強度。洛倫茲力 $F_{L}=qvB$ 是磁場 $\mathbf {B}$ 對以速度 $v$ 運動的電荷 $q$ 所施加的磁力，如果其速度垂直於磁場。

因此我們發現，磁場只對運動的電荷起作用。

在參考系 R 中，不存在靜電力，因為載流導線是電中性的。但在參考系 R' 中，負電荷密度低於正電荷密度，這是因為發生了菲茨傑拉德收縮。電荷密度不為零，是靜電力場場的源泉。R' 中的靜電力就是 R 中的磁力。

因此，菲茨傑拉德收縮和庫侖力足以解釋由電流產生的磁力的存在。

載流導線會排斥以電流常規方向（正電荷電流）運動的負電荷，並吸引以相反方向運動的負電荷。因此我們發現了安培定律：兩根平行載流導線，如果電流方向相同，則相互吸引；如果電流方向相反，則相互排斥。

參考：費曼物理學講義，電磁學，第 13-6 章。

向量積

為了計算運動電荷產生的磁力和對運動電荷施加的磁力，必須知道三維空間中兩個向量的叉積。

兩個向量 u 和 v 的向量積 w = u×v 是一個向量，

• 其長度為 uv sin$\theta$，其中 $\theta$ 是 u 和 v 之間的夾角，u 和 v 是 u 和 v 的長度，

• 其方向垂直於 u 和 v

• 使得三元組 u, v, w 是正向的。

右手的三元組（拇指、食指、中指）是正向的。左手的三元組是負向的。（右、前、上）是正向的。一般來說，座標系的 x、y 和 z 軸被選為正向的。

兩個方向相同的向量的叉積是零向量。兩個垂直向量的叉積的長度是它們長度的乘積。

畢奧-薩伐爾定律

如果狀態是穩態的（電流不發生變化），則導線段 $\mathbf {d\ell }$ 中電流 $I$ 在點 $\mathbf {r}$ 產生的磁場 $\mathbf {B}$ 是

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I\mathbf {d\ell } \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$

其中 $\mathbf {r}$ 是從線段 $\mathbf {d\ell }$ 指向所考慮點的向量，$r$ 是其長度，$\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} /r$ 是 $\mathbf {r}$ 方向上的單位長度向量，$\mu _{0}$ 是一個常數，它取決於所選的測量單位。

根據畢奧-薩伐爾定律，我們可以計算電流產生的磁場。如果導線是直的且無限長，則磁場線是圍繞導線的圓。

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畢奧-薩伐爾定律的數學形式類似於庫侖定律。力與距離的平方成反比。這並非巧合。我們可以從庫侖定律推匯出畢奧-薩伐爾定律，因為電流的磁力起源於靜電。

洛倫茲力

電場 $\mathbf {E}$ 和磁場 $\mathbf {B}$ 對帶電量為 $q$ 的粒子施加一個力 $\mathbf {F} _{L}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B}$）。

$\mathbf {F} _{L}$ 是洛倫茲力。

用洛倫茲力，我們可以解釋電流上的磁力。

電動機的原理:

如果一個電流環平行於一個均勻的磁場，則運動電荷上的洛倫茲力會產生一個使環轉動的力矩。

洛倫茲力方程和麥克斯韋方程是電磁學的基本定律。麥克斯韋方程描述了電荷如何在整個空間中產生電場和磁場，以及這些場如何隨時間變化。然後洛倫茲方程描述了這些場如何作用於電荷。

畢奧-薩伐爾定律使我們能夠計算電流產生的磁場。然後洛倫茲力使我們能夠計算透過電流的兩個導線之間的力。磁場就像一個計算運動電荷之間力的數學中間體。但它不僅僅是一個簡單的數學中間體，因為它具有自主的存在。

我們可以根據畢奧-薩伐爾定律和庫侖定律計算電流產生的磁力。這兩個結果的相等性表明

$\epsilon _{0}\mu _{0}=1/c^{2}$

$\epsilon _{0}$ 和 $\mu _{0}$ 是獨立於光速 $c$ 進行測量的物理常數。當麥克斯韋發現電磁場的基本定律時，他發現 $c={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}$ 是電磁波的速度。由於 $c$ 也是光速，因此他得出結論：光是一種電磁波。

磁力的電動勢

帶電粒子在磁場中的受力始終與其速度垂直。因此，力的功總是零。粒子的動能沒有改變，只有方向改變。那麼磁力是如何產生電流的呢？它們是如何使最初靜止的電荷運動起來的？

如果一個粒子在靜止磁鐵產生的場中運動，它會受到磁力的作用。但在粒子靜止的參考系中，它不會受到任何磁力的作用，因為它的速度為零。它只能受到電力的作用。因此，運動的磁鐵是電力的來源，因此可以產生電流。

如果我們在恆定磁場中放置一個導電迴路，並使其繞著垂直於磁場的直徑旋轉，那麼一旦迴路的旋轉給電子施加了不平行於磁場的運動，洛倫茲力就會使電子在導線方向上運動。這種電子在導線方向上的運動表現為電勢的存在。因此，我們可以透過在恆定磁場中旋轉導電迴路來製造發電機

藍色區域與磁場穿過迴路的通量成正比。法拉第定律，在關於麥克斯韋方程組的章節中給出，指出迴路兩端的電壓等於磁場穿過迴路的通量變化率的負值。

與電流產生的磁力一樣，磁力的電動勢也具有靜電起源。

為了理解它，我們只需要考慮一個由電流穿過方形電路。設 $\lambda$ 為傳導電子的線密度。電流強度為 $\lambda v$，其中 $v$ 是電子在電路靜止的參考系 R 中的平均速度。設 $q$ 為一個放置在電路中心的電荷，相對於 R 的速度為 $v$，方向與電流流過的一條邊相同。設 R' 為一個參考系，使得電荷 $q$ 處於靜止狀態。從 R' 的角度來看，電荷 $q$ 不會受到磁力的作用，因為它的速度為零，但它會受到靜電力的作用。

從 R' 的角度來看，與它的運動平行的兩條邊在運動方向上收縮，但垂直於運動的兩條邊沒有收縮。在平均速度為零的一側，傳導電子的線密度等於 $\lambda /\gamma$，其中 $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ 是長度收縮係數的倒數。另一側的傳導電子線密度為 $\lambda \gamma$。它不同，因為傳導電子相對於 R' 具有非零的平均速度。

從 R' 的角度來看，電荷 $q$ 受到靜電力作用，該力垂直於電路的運動方向，且與 $\lambda (\gamma -1/\gamma )$ 成正比。從 R 的角度來看，此力比 $\gamma$ 小 $\gamma$ 倍，因此與 $\lambda (1-1/\gamma ^{2})=\lambda v^{2}/c^{2}$ 成正比。它是運動的電荷在 R 中所受到的磁力。

在 R' 中，電路是一個可變磁場源，對電荷 $q$ 施加電力。因此，磁場的變化會產生電動勢。