電氣與磁性/麥克斯韋方程組

向量場的散度

為了理解麥克斯韋給出的電磁學基本方程，我們必須理解向量場的散度和旋度。

為了理解它的散度，我們必須理解向量場穿過表面的通量。

如果我們將向量場視為流體的速度場，那麼它穿過表面的通量就是流體穿過該表面的流量。顯然，通量取決於表面的方向。

令 $dS$ 為一個足夠小的表面元素，以便我們可以假設向量場 $\mathbf {v}$ 幾乎恆定。令 $\mathbf {\hat {n}}$ 為一個長度為 1 的向量，垂直於 $dS$。 那麼，$\mathbf {v}$ 穿過 $dS$ 且朝向 $\mathbf {\hat {n}}$ 的方向的通量 $d\phi$ 為 $d\phi =\mathbf {\hat {n}} .\mathbf {v}$ $dS$

為了找到穿過表面的通量，我們將表面分成小的表面元素，並將所有通量加起來。當表面元素的大小趨於零時，該總和的極限是一個積分。它是穿過表面的通量 $\phi$。

$\phi =\int _{S}d\phi =\int _{S}\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {v}$ $dS$

為了計算通量 $\phi$，我們必須選擇一個穿過表面的方向。如果向量場與該方向相同，則通量為正；否則為負。

向量場 $\mathbf {v}$ 的散度 $\operatorname {div} \mathbf {v}$ 是在每一點上透過考慮圍繞該點的越來越小的閉合曲面得到的，例如以該點為中心的球體或立方體。它是向量場穿過這些小的閉合曲面的通量的極限值，除以它們限定的體積，當該體積趨於零時。穿過的方向總是從內到外。

如果在某一點上的散度為正，則向量場在該點發散，就像流體的源頭一樣。如果散度為負，則它在該點收斂，就像流體的匯點一樣。

由於不可壓縮流體的體積是恆定的，因此其速度場的散度始終為零，因為既沒有源也沒有匯。

為了計算散度，我們使用以下公式

$\operatorname {div} \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}$

對於一個場 $\mathbf {v}$，其三個分量為 $v_{x}$，$v_{y}$ 和 $v_{z}$.

證明：我們考慮一個邊長為 $a$ 的小立方體，其各面平行於 xy、xz 和 yz 平面。在平行於 yz、因此垂直於 x 軸的面上，通量為 $a^{2}v_{x}$ 和 $a^{2}(v_{x}+a{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}})$。兩者的差為 $a^{3}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}$。平行於 xz 和 xy 的面也是如此。因此，離開立方體的總通量為 $a^{3}({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}})$。此通量也等於 $a^{3}\operatorname {div} \mathbf {v}$。

向量場的散度是一個實數，正數或負數，定義在空間中的每個點。因此，它是由向量場匯出的標量場。

高斯定理

向量場穿過閉合曲面的通量，從內部到外部，始終等於其散度在曲面內整個體積上的積分。

證明：如果兩個立方體有一個面是共用的，那麼它們共同形成的矩形瓦片的通量是兩個立方體通量的總和，因為透過瓦片內部面的兩個通量正好相互抵消。從一個立方體透過這個面出來的所有東西都進入另一個立方體。

由閉合曲面限定的體積總是可以被分成小的相鄰體積，所以

$\phi =\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {v}$ $dV$

其中 $V$ 是由 $S$ 限定的體積。

利用高斯定理和庫侖定律，我們得到了麥克斯韋方程組的第一個方程

$\operatorname {div} \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$

其中 $\rho$ 是電荷密度。對於均勻帶電體積 $V$ 的電荷 $q$，$\rho =q/V$ 是 $V$ 內部的電荷密度。

麥克斯韋方程第一式的證明：我們分析球形電荷產生的電場透過以該電荷為中心的球體的通量

電荷 $q$ 產生的電場透過以該電荷為中心的半徑為 $r$ 的球體的通量為 $\phi =4\pi r^{2}E$，其中 $E={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}$。所以 $\phi =q/\epsilon _{0}$。或者 $q=\int _{V}\rho$ $dV$，其中 $\rho$ 是電荷密度，$V$ 是以 $q$ 為中心的球體的體積。所以 $\phi =\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E}$ $dV=\int _{V}{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}dV$。由於該方程對於包圍電荷密度 $\rho$ 的任何體積都成立：$\operatorname {div} \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$

麥克斯韋方程第二式為

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0$

它表明磁荷密度始終為零，因此磁單極子不存在。

磁場透過以環路為邊界的表面的通量僅取決於該環路。

證明：設 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 是由相同迴路界定的兩個曲面。這兩個曲面界定了體積。磁場從該體積中流出的通量是透過 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的通量之差。但由於磁場的散度始終為零，根據高斯定理，該差值為零。因此，這兩個通量相等。

磁場始終可以與不可壓縮流體的速度場相對應。進入體積的通量始終等於離開體積的通量。對於包含無電荷的體積中的電場通量來說，情況也是如此。

高斯定理可以用來計算無限帶電平面或無限帶電直線產生的電場。

無限帶電平面

設 $\sigma$ 是平面的面電荷密度。如果平面具有有限的表面積，那麼它產生的電場取決於到其邊緣的距離。但是對於非常大的表面積，只要我們遠離邊緣，這種邊緣效應是可以忽略不計的。因此，在垂直於一個大的帶電圓盤的中心的軸線上產生的電場等於具有相同單位面積電荷的無限平面的產生的電場。帶電圓盤是旋轉對稱的。居里定律指出效應具有與其原因相同的對稱性，因此要求它產生的電場也是旋轉對稱的。因此，在圓盤的軸線上，它必然沿該軸方向。因此，無限帶電平面產生的電場處處垂直於該平面。

考慮一個圓柱體，其表面 $S$ 平行於帶電平面，使得該平面穿過兩個表面之間的中點。電場穿過圓柱體側壁的通量為零，因為它始終平行於側壁。因此，通量是兩個側面通量的總和。

$\phi =2SE$

其中 $E$ 是每個表面上電場的大小。

圓柱體中包含的電荷 $q$ 是

$q=\sigma S$

高斯定理使我們得出結論

$E={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}$

$E$ 不依賴於到帶電平面的距離。

無限帶電平面產生的電場的大小 $E$ 在空間的任何地方都相同。電場垂直於平面，如果其電荷為負，則指向它，如果其電荷為正，則指向相反方向。

導體表面的表面電荷

在表面的某一側，電場為零。在另一側，它垂直於表面。高斯定理應用於穿過表面的一個小圓柱體，其平行於表面的表面積為 $dS$，得到 $EdS={\frac {\sigma dS}{\epsilon _{0}}}$，因此

$E={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$

無限帶電直線

如果帶電導線的長度是有限的，它產生的電場取決於到其端點的距離。 但是對於非常長的導線，只要我們遠離端點，這種邊緣效應就可以忽略不計。 因此，在垂直於長帶電有限導線中點的平面中產生的電場等於由具有相同單位長度電荷的無限長導線產生的電場。 因此，在垂直於長帶電有限導線中點的平面中產生的電場等於由具有相同單位長度電荷的無限長導線產生的電場。

穿過其中心的有限長度均勻帶電導線所垂直的平面中產生的電場必須垂直於導線，這是由對稱性決定的。 如果該電場偏離該中平面，則居里定律將被違反。 該定律還表明，由均勻帶電導線產生的電場必須位於與其軸平行的平面中。 因此它必須指向導線，或反方向。 由於導線繞其軸旋轉時具有對稱性，因此居里定律還表明，場的強度只能取決於到導線的距離。

考慮一個半徑為$r$，長度為$L$的圓柱體，其中心位於均勻帶電的無限長導線上。 圓柱體內的電荷等於$q=\lambda L$，其中$\lambda$是導線的線性電荷密度。 在圓柱體的兩端，電場通量為零，因為電場平行於它們。 電場$\mathbf {E}$的通量$\phi$因此等於圓柱體的表面（不包括其端點）乘以場$E$，它始終垂直於該表面

$\phi =2\pi rLE$

其中$r$是圓柱體的半徑，$L$是其長度，$E$是均勻帶電導線在距離$r$處產生的電場$\mathbf {E}$的強度。

所以$q/\epsilon _{0}=2\pi rLE$

$E={\frac {q}{2\pi rL\epsilon _{0}}}={\frac {\lambda }{2\pi r\epsilon _{0}}}$

向量場的旋度

要了解它的旋度，我們必須瞭解向量場沿迴路的環流。

對於均勻向量場 $\mathbf {v}$，該場沿直線 $\mathbf {dx}$ 的環量等於 $dc=\mathbf {v} \cdot \mathbf {dx}$。

如果向量場不均勻，或者路徑 $C$ 不是直線，我們考慮一條折線，它遵循相同的路徑，並且其線段可以儘可能小。我們透過假設該場在每個線段上是均勻的來計算該場的環量，並且我們線上段長度趨於零時取每個線段上該場環量的總和的極限。這個極限是一個積分，它是場 $\mathbf {v}$ 在路徑 $C$ 上的環量。

$c=\int _{C}dc=\int _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {dx}$.

電場力對單位電荷沿路徑所做的功，是電場沿該路徑的流量。

如果力場來自勢能，那麼它在迴路上的環量總是為零，因為勢能的起始點等於勢能的結束點，而結束點與起始點相同。

為了測量回路上的環量，必須在迴路中選擇一個環量方向。一個方向的環量與相反方向的環量相反。

向量場的旋度是從其環量得到的，就像它的散度是從其通量得到的，但三維空間中向量場的旋度是向量場，而它的散度是標量場。

要理解向量場的旋度，最好從二維空間，即表面開始理解，因為那時它是一個標量場，而標量場比向量場更簡單。

二維向量場 $\mathbf {v}$ 在點 $\mathbf {r}$ 處的旋度是 ${\frac {c}{dS}}$ 當 $dS$ 趨於零時的極限，其中 $c$ 是 $\mathbf {v}$ 在一個表面為 $dS$ 且包圍點 $\mathbf {r}$ 的迴路上的環量。

為了計算旋度，我們使用公式

$\operatorname {curl} \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}$

對於一個具有兩個分量的場 $\mathbf {v}$，其兩個分量分別為 $v_{x}$ 和 $v_{y}$。

證明：我們考慮一個邊長為 $a$ 的小正方形，其邊平行於 x 軸和 y 軸。在平行於 y 軸的邊上，因此垂直於 x 軸，環流為 $-av_{y}$ 和 $a(v_{y}+a{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}})$。兩者的和為 $a^{2}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}$。在垂直於 y 軸的邊上，環流為 $av_{x}$ 和 $-a(v_{x}+a{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$ 。兩者的和為 $-a^{2}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}$。因此，整個正方形的環流為 $a^{2}({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$。此環流也等於 $a^{2}\operatorname {curl} \mathbf {v}$。

當向量場是三維的，我們考慮它在三個相互垂直的平面上的投影。這三個二維向量場，每個都有一個旋度。因此，我們可以將三個數字與每個點相關聯。這些是向量場的三個分量

${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =({\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})}.$

三維向量場的旋度也是三維向量場。

三維向量場的旋度的散度始終為零。

證明：$\operatorname {div} \operatorname {curl} \mathbf {v} ={\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial x\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y\partial z}}=0$

因此，向量場的旋度總是可以與不可壓縮流體的速度場相對應。

向量場旋度透過由一個迴路包圍的曲面的通量僅取決於該回路。

證明：設$S_{1}$ 和 $S_{2}$ 是由同一個迴路限定的兩個曲面。這兩個曲面限定了一個體積。從該體積的通量是透過 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的通量的差。但由於旋度的散度總是為零，根據高斯定理，該差為零。因此，這兩個通量相等。

勢的梯度的旋度總是為零。

證明：設 A 和 B 是迴路上的兩個點。勢 $V$ 的梯度在從 A 到 B 的任何路徑上的通量等於 $V_{B}-V_{A}$。梯度在迴路上的環量是從 A 到 B 的路徑上的環量加上從 B 到 A 的路徑上的環量。因此它總是等於零。由於旋轉是從一個小回路上的環量定義的，因此它對於勢的梯度也總是為零。

斯托克斯定理

向量場在一個閉合迴路上的環量是它的旋度透過該回路限定的曲面的通量。

證明 

• 設 C 是一個閉合迴路，D、E、F 和 G 是 C 上的四個點，按順序排列。我們可以透過在 E 和 G 之間新增一個連線來將回路 C 分成兩個迴路：DEG 和 EFG。向量場沿迴路 C 的環量等於 DE、EF、FG 和 GD 上的環量的總和。DEG 迴路上的環量等於 DE、EG 和 GD 上的環量的總和。EFG 上的環量等於 EF、FG 和 GE 上的環量的總和。現在 EG 上的環量與 GE 上的環量相反，因此 C 上的環量等於 DEG 和 EFG 迴路上的環量的總和。

• 我們總是可以將一個迴路分成許多小的相鄰迴路。只要總是選擇相同的環量方向，整個迴路上的環量就等於所有將它分割的小回路上的環量的總和。

• 令 $dS$ 是一個由平行於 xy 平面的一個小回路 C 包圍的曲面。向量場 $\mathbf {v}$ 的旋度透過 $dS$ 的通量等於 $dS({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$。因此，此通量等於 $\mathbf {v}$ 在迴路上的環量。如果 $dS$ 平行於 yz 平面或 xz 平面，也會發生同樣的情況。

• 三角形迴路總是可以被分成三個平行於 xy、yz 和 xz 平面的迴路。因此，$\mathbf {v}$ 的旋度透過三角形迴路的通量總是等於 $\mathbf {v}$ 在迴路上的環量。

• 迴路總是可以被分成許多小的、近似於三角形的迴路。如果這些迴路足夠小，它們與三角形迴路的差異可以忽略不計。因此，$\mathbf {v}$ 的旋度透過任何迴路的通量等於 $\mathbf {v}$ 在迴路上的環量。

斯托克斯定理與旋度之間的關係類似於高斯定理與散度之間的關係。它們都是一個非常通用的定理的特殊情況，該定理也稱為斯托克斯定理，可以使用微分幾何方法在任何有限維空間中進行證明。

法拉第定律

電場力在單位電荷沿封閉迴路做功等於磁場透過迴路包圍區域的通量變化率的負值。

電場力在單位電荷沿封閉迴路做功為電動勢。

封閉迴路可以被認為是一個連線發電機和電阻器的電路。電阻是迴路自身的電阻。發電機被假設為零電阻，並提供一個等於磁場通量變化率的電動勢。這就是為什麼即使電路包含可以被可變磁場穿過的迴路，我們仍然可以在電路上定義電勢的原因。每次出現電動勢時，我們就認為發電機瞬間施加了一個等於此電動勢的電勢差。因此，我們可以定義整個電路上的虛擬電勢。

法拉第定律導致了麥克斯韋第三方程

$\operatorname {curl} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

證明：將一個迴路放置在電磁場$(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$中。根據斯托克斯定理，$\mathbf {E}$在這個迴路上的環量等於$\operatorname {curl} \mathbf {E}$穿過迴路的通量。根據法拉第定律，它也是$\mathbf {B}$通量變化率的相反數。$\mathbf {B}$通量變化率是${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$的通量。對於任意小的迴路，$\operatorname {curl} \mathbf {E}$和$-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$的通量相等，這證明了$\operatorname {curl} \mathbf {E}$和$-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$必然相等。

麥克斯韋第四方程

麥克斯韋第四方程將$\operatorname {curl} \mathbf {B}$確定為兩項的總和。其中一項可以透過畢奧-薩伐爾定律獲得。

沿一條無限長且載有電流$I$的導線的磁力線是圓形的，並且以垂直於導線的平面為中心。透過畢奧-薩伐爾定律，我們可以計算出磁場$\mathbf {B}$的大小$B$

$B={\frac {I}{2\pi r\epsilon _{0}c^{2}}}$

其中$r$是到導線的距離。

因此，$\mathbf {B}$沿磁力線的環量為

$2\pi r\ B={\frac {I}{\epsilon _{0}c^{2}}}=\mu _{0}I$

根據斯托克斯定理，$\operatorname {curl} \mathbf {B}$ 穿過迴路的通量始終等於 $\mathbf {B}$ 在該回路上的環量。如果 $\mathbf {J}$ 是電流密度，$I$ 是 $\mathbf {J}$ 穿過電流穿過的表面的通量。透過設定 $\operatorname {curl} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$，因此我們找到了無限長導線的畢奧-薩伐爾定律。

$\operatorname {curl} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$ 不可能在任何地方都成立。

證明：設一個電路由一個電容器組成，電容器放電到一個電阻器。考慮一個包圍電路導線的迴路。$\mathbf {J}$ 穿過穿過導線的表面的通量等於電流 $I$。但 $\mathbf {J}$ 穿過電容器兩極板之間表面的通量為零，因為兩極板之間沒有電流。現在，$\operatorname {curl} \mathbf {B}$ 穿過由迴路界定的表面的通量只取決於迴路。所以 $\operatorname {curl} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$ 不可能總是成立。

另一方面，如果我們寫

$\operatorname {curl} \mathbf {B} =\mu _{0}(\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} )$

我們糾正了這個錯誤。

證明：在電容器極板之間，$E=\sigma /\epsilon _{0}$，方向垂直於極板。因此，$\mathbf {E}$ 穿過極板之間表面的通量為$SE=S\sigma /\epsilon _{0}=Q/\epsilon _{0}$。因此，$\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ 在電容器極板之間的通量等於$dQ/dt=I$，即電流強度。

麥克斯韋方程組

$\operatorname {div} \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0$

$\operatorname {curl} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$\operatorname {curl} \mathbf {B} =\mu _{0}(\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} )$

結合洛倫茲力方程，

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B}$)

麥克斯韋方程組是經典電磁理論的基本定律。這裡的“經典”是指它不是量子理論。

麥克斯韋方程組解釋了運動電荷是如何產生電磁場的，以及電磁場如何隨時間變化。洛倫茲力方程解釋了電磁場是如何對運動電荷施加力的。

光是一種電磁波。我們可以從麥克斯韋方程組推匯出光的存在。

除了萬有引力和核力之外，電磁力解釋了所有自然現象。光、原子、分子、離子、固體、液體、氣體、等離子體、液晶、電動機、無線電波、X射線……都由電磁力解釋。因此，對於物理學家來說，麥克斯韋方程組和洛倫茲力方程就像法律條文一樣。

麥克斯韋方程組和洛倫茲力方程可以從廣義庫侖定律和時空的相對論幾何推匯出來。因此，廣義庫侖定律是經典電磁學中最基本的定律。

時空幾何假設光速$c$ 的存在，但它沒有強加光的實際存在。假設存在以光速傳播的粒子就足夠了。因此，廣義庫侖定律和時空幾何證明了光的存在，而沒有預先假設它的存在。

物質中的麥克斯韋方程組

我們通常考慮點電荷。電荷密度$\rho$ 在電荷所在點是無限大的。我們假設電荷密度$\rho$ 是狄拉克δ函式，使得$\int _{V}\rho$ $dV=q$ 對於點電荷$q$ 成立，其中$V$ 是僅包含電荷的體積。

如果電荷是瞬時的，空間幾乎處處為空，物質中的麥克斯韋方程與上述方程相同，其中電荷和電流密度是用狄拉克δ函式計算的。