電動力學/畢奧-薩伐爾定律

畢奧-薩伐爾定律

畢奧-薩伐爾 定律將磁場 B 與場中磁鐵的距離和強度聯絡起來。在很多方面，它與庫侖定律非常相似，無論是形式還是概念。

我們可以將畢奧-薩伐爾定律表述為

[畢奧-薩伐爾定律]

$d\mathbf {B} =K_{m}{\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$

其中

$K_{m}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,$，其中 $\mu _{0}$ 是磁常數

$I\mathbf {}$ 是電流，以安培為單位

$d\mathbf {l}$ 是電流元素的微分長度向量

$\mathbf {\hat {r}}$ 是從電流元素到場點的單位位移向量，以及

$r\mathbf {}$ 是從電流元素到場點的距離

該公式僅適用於穩定電流，這意味著電荷不會在任何地方累積。這類似於庫侖定律，庫侖定律僅適用於靜態電荷分佈。當電流不穩定且電荷分佈發生變化時，我們必須在畢奧-薩伐爾定律中新增修正項。然而，畢奧-薩伐爾定律具有非同尋常的穩健性，比庫侖定律更為穩健。這是因為大多數誤差（一階誤差）將相互抵消。因此，畢奧-薩伐爾定律可以應用於明顯不穩定的情況；例如，以 60 赫茲交替的家庭電流。

形式

一般

在靜磁近似中，如果已知電流密度 j，則可以確定磁場

$\mathbf {B} =K_{m}\int {{\frac {\mathbf {j} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}dv}$

其中

$\mathbf {\hat {r}} ={\mathbf {r} \over r}$ 是 r 方向上的單位向量。

$dv$ = 是體積的微分單位。

恆定均勻電流

在恆定均勻電流 I 的特殊情況下，磁場 B 為

$\mathbf {B} =K_{m}I\int {\frac {d\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$

恆速運動的點電荷

在帶電點粒子 $q\mathbf {}$ 以恆定速度 $\mathbf {v}$ 運動的特殊情況下，上述方程簡化為近似形式的磁場

$\mathbf {B} =K_{m}{\frac {q\mathbf {v} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$

然而，此公式是錯誤的。這是因為沿直線運動的點電荷不構成穩恆電流或恆定電荷分佈，而這兩者對於靜磁學都是必不可少的。特別地，在這種情況下，存在變化的電場和感應磁場，必須將其新增到上述公式中進行修正。儘管該方程並不完全準確，但它是一個非常好的近似值（實際上是不合理的）。

微觀尺度

在微觀尺度上，畢奧-薩伐爾定律變為：

$\mathbf {H} =\epsilon \mathbf {v} \times \mathbf {E}$

因此，

$\mathbf {B} =\mathbf {v} \times {\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E}$