電動力學/電能

簡介

宇宙中的許多物體都是守恆的，例如宇宙的電荷始終保持不變。這被稱為全域性電荷守恆。但是，如果你取一個定義的區域，那麼該區域中的電荷也將保持不變，除非某些電荷透過其邊界離開。如果某些電荷透過邊界移動，那麼它必須等於體積中電荷的變化。就像你和你的朋友在一個房間裡，你不能只是不在房間裡，你必須從門出去。

這被稱為區域性電荷守恆。

電荷守恆

讓我們看一下體積 V 內的總電荷

$Q_{enc}(t)=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )dV$

我們會說，V 內的電荷根據以下公式變化

${\frac {dQ_{enc}}{dt}}=\int _{V}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} )}{\partial t}}dV$

我們可以考慮透過閉合曲面的電流，V 的邊界（$\partial V$），例如，它將是

$I=\int _{\partial V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS$

現在我們可以引入公式$I={\frac {dQ}{dt}}$，並將其與封閉電荷聯絡起來。我們看到相應的公式是

$-{\frac {dQ_{enc}}{dt}}=\int _{\partial V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS$

因為當封閉電荷減少時，電流密度（離開 V 的電荷）存在正通量。

我們看到

$-\int _{V}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} )}{\partial t}}dV=\int _{\partial V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS$

然後，透過對右手邊使用散度定理，我們得到了區域性電荷守恆定律或連續性方程。

[區域性電荷守恆定律]

${\frac {d\rho }{dt}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0$

能量守恆

[能量守恆定律]

${\frac {\partial }{\partial t}}(u_{mechanical}+u_{electromagnetic})=-\nabla \cdot \mathbf {S}$

其中

$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {E} \times \mathbf {b} )$