電動力學/電磁場張量

在討論麥克斯韋方程之前，定義電磁場的兩個張量是有用的。這兩個張量將在本書的剩餘部分中用於多種應用，包括麥克斯韋方程。

場張量

我們將定義兩個場張量，F 和 G，並且我們將定義另一個張量，σ，我們可以用它來從另一個張量生成一個場張量。

$\mathbb {F} ={\begin{bmatrix}0&B_{z}&-B_{y}&-iE_{x}\\-B_{z}&0&B_{x}&-iE_{y}\\B_{y}&-B_{x}&0&-iE_{z}\\iE_{x}&iE_{y}&iE_{z}&0\end{bmatrix}}$

$\mathbb {G} ={\begin{bmatrix}0&E_{z}&-E_{y}&-iB_{x}\\-E_{z}&0&E_{x}&-iB_{y}\\E_{y}&-E_{x}&0&-iB_{z}\\iB_{x}&iB_{y}&iB_{z}&0\end{bmatrix}}$

完全反對稱張量

我們可以定義一個完全反對稱的四階張量（四維，所以我們無法視覺化它），如下所示

$\sigma _{\mu \nu \lambda \rho }=0$ 如果任何兩個索引相同。

$\sigma _{1234}=1$

$\sigma _{\mu \nu \lambda \rho }=1$ 如果所有索引都不同，並且如果索引與 1234 的總差為偶數。

$\sigma _{\mu \nu \lambda \rho }=-1$ 如果所有索引都不同，並且如果索引與 1234 的總差為奇數。

我們可以用這個新張量來定義兩個場張量，F 和 G，如下所示

$\mathbb {G} ={\frac {i}{2}}\sum \sigma _{\mu \nu \lambda \rho }\mathbb {F} _{\lambda \rho }$