電動力學/電磁輻射

麥克斯韋如何修正安培定律

當麥克斯韋觀察安培定律時，他意識到變化的電場就像電流一樣，但這不是安培定律的當前形式所包含的。因此，麥克斯韋添加了這個變化，安培定律的完整形式就變成了

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

這種認識是由於之前安培定律與電荷守恆/連續性方程不相容的事實。對安培原始方程求散度，發現電流的散度等於零，這與電荷守恆不一致。透過引入位移電流解決了這個悖論。

使用新定律

當我們在真空中觀察這個公式並將其與法拉第電磁感應定律結合起來時

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

然後我們求解這個公式，就可以看到它是一個以速度 c 傳播的波。

草圖證明

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$-\int (\nabla \times \mathbf {E} )dt=\mathbf {B}$

將此代入安培定律得到

$-\nabla \times \int (\nabla \times \mathbf {E} )dt=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}$

我們現在使用以下關係

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A}$

這給了我們

$\nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}$

同樣地

$\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}$

這應該很熟悉，它是關於位置的二階導數，等於關於時間的負二階導數。它是一個正弦函式（實際上是虛指數，但在這裡用正弦函式是可以接受的）。它的速度是 $c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}$.

而這些數值的實驗值與觀察到的光速值非常接近。

這個速度非常接近光速，因此我們有充分理由得出結論：光本身（包括輻射熱和其他任何輻射）是電磁場中根據電磁定律傳播的電磁波。--麥克斯韋 1865

我們如何真正知道光是一種電磁波？

僅僅是速度正確以及光具有波的特性（干涉和衍射）是不夠的——畢竟，引力波也會具有這些特性。也許最令人信服的證據證明光是一種電磁波是

• 光從導體和電介質的反射表現符合麥克斯韋方程式的預期
• 反射和散射產生的光的偏振符合麥克斯韋的預期
• 高強度雷射會導致空氣和其他（電介質）材料“擊穿”。這看起來像是一道微小的火花，就像我們預期的那樣，如果光是由電場和磁場組成的，那麼電場會引起電介質擊穿。
• 存在一個連續的輻射型別，從無線電波，我們知道它們是電磁的，因為我們製造了它（並用天線捕獲它們），到光，再到微波、遠紅外、近紅外、光（以及其他）。這些輻射型別表現出隨著波長連續平滑變化的特性，沒有躍遷。