電動力學/法拉第定律

法拉第定律

1831 年，法拉第發現了以下三種現象

1. 如果一根導線線圈穿過磁場，就會產生感應電流。

2. 當磁鐵移動時，也會產生感應電流。

3. 當磁場強度發生變化時，也會產生感應電流。

第一種現象很容易理解。我們知道導線線圈內部有自由電子。當電流移動時，這些電荷處於運動狀態，因此磁力會導致它們移動，從而產生電流。

當然，我們立即會意識到現象 1 會透過相對論原理暗示現象 2。但是，它在經典力學中的解釋並不那麼直接。顯然，由於導線沒有移動，所以沒有磁力 ($\mathbf {F} _{B}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$). 因此，一定是電場產生電流。不知何故，變化的磁場必須感應電場。

事實證明，所有這三種情況下的感應電動勢都由$\xi =-{\frac {\partial \Phi _{B}}{\partial t}}$給出，其中$\Phi _{B}$是磁通量。大多數人會稱之為法拉第定律，但這個方程實際上包含了兩個物理定律：洛倫茲力定律和電場的感應。同一個方程描述了兩種不同的現象，真是一個奇蹟。

感應電流的方向由楞次定律給出，楞次定律指出，感應電流將試圖抵消磁通量的變化。這解釋了法拉第方程中的負號。楞次定律對於能量守恆定律的成立是必要的。

考慮一塊金屬板穿過兩個磁鐵之間的空間落下。當它落下時，磁通量會發生變化，從而產生感應電流，也稱為渦流。楞次定律告訴我們，這種電流會抵消磁通量的變化，因此磁力會向上作用於板。因此，它的速度會變慢。這種應用用於阻尼擺錘，並且重要到足以被納入電機設計中。

發電機的工作原理

在發電機中，一根導線線圈在磁場中旋轉。當線圈旋轉時，穿過線圈迴路的磁通量發生變化，因此會產生感應電壓。

假設線圈有$N$匝。那麼感應電壓由以下公式給出

$\xi =-N{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}$

根據楞次定律，產生的電流方向會抵消磁通量的變化。因此，如果沒有外力，線圈的旋轉速度會慢下來，最終會停止。這是有道理的，因為我們產生的電流會攜帶能量，而由於能量守恆，線圈的旋轉能量必須減少。因此，發電機需要外力矩來轉動導線線圈。

真實的發電機

真實的發電機通常線上圈內部旋轉一個大型磁鐵，在澳大利亞，我們使用三相發電機，這意味著實際上有三個線圈，間距為 120 度。這些發電機產生數千伏的電壓。它們由煤炭、石油和水力發電等來源提供動力。在一些國家，核裂變被用來產生蒸汽，蒸汽用來驅動渦輪機。

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讓我們嘗試將電動勢與電場聯絡起來。當電場將電荷沿導線移動時，它會做功$\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l}$ 每個單位電荷。它在將電荷透過導線移動時所做的總功必須是電動勢，因此

$\xi =\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l}$

那麼磁通量定律將是

$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-{d\Phi \over dt}$

你可能會反對，說電場沿閉合路徑的積分總是 0，或者電場是保守的，但這隻對靜電場成立。感應電場永遠不是保守的，並且無法為感應電場定義勢能。$E=-\nabla \phi$ 變成錯誤的。

法拉第定律被認為是麥克斯韋方程組之一。

我們可以透過注意到 $\int _{\gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =\int _{A}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {A}$，將其寫成微分形式。

$\int _{\gamma }\mathbf {E} \cdot ds=\int _{A}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot d\mathbf {A} =\int _{A}-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}d\mathbf {A}$

所以

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$