電動力學/四向量

電磁四勢

本頁將介紹四勢和四電流符號，以及達朗貝爾算符，在狹義相對論理論框架下研究這些主題時使用。這些構造，雖然對某些人來說有點令人困惑，但它們是現代物理學家研究電場和磁場的根本方式，因此值得學習。這些主題可能在這裡過早地介紹，儘管本章不會很嚴格。相反，我們將在這裡提供一些常見的結果，並在接下來的幾章中解釋它們。

勢，現狀

電勢 (V) 和磁矢勢 (A) 由下式給出

$\mathbf {E} =-\nabla V$

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

使用電場的高斯定律

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

然後用 V 的梯度替換 E。我們看到

$\nabla \cdot \nabla V=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

或

$\nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

根據庫侖定律，我們看到

$V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho }{\tau }}{d\tau }$

在靜磁學中使用類似的技術得到

$\nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J}$ 和

$\mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} }{\tau }}d\tau$

四勢與四電流

我們定義一個稱為四勢的向量，其形式為

$A^{\mu }=\left({\frac {V}{c}},\mathbf {A} \right)=(V,A_{x},A_{y},A_{z})$

還有一個稱為四電流，它用 ρ（電荷密度）代替 V，用J（電流密度）代替A

$J^{\mu }=(c\rho ,\mathbf {J} )=(\rho ,J_{x},J_{y},J_{z})$

其中，在每種情況下，c 都是光速。

四勢和四電流都是具有四個標量值的向量。每個值代表什麼將在後面的內容中闡明。

綜合

你可能已經注意到，A 與 J 和 V 與 ρ 的方程非常相似，並且四勢和電流只包含這些。我們可以將這些合併成一個方程，如下所示

$\nabla ^{2}A^{\mu }=-\mu _{0}J^{\mu }$

以及

$A^{\mu }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {J^{\mu }}{\tau }}d\tau$

相對論

相對論的規則指出，電流現在不能立即產生遠處的磁場。電流的影響以光速傳播最快，場變化的速度也不可能比這更快。如果你以前從未接觸過 狹義相對論，現在可能是個好時機。

達朗貝爾算符

我們顯然需要一些項來彌補沒有什麼比光速更快的這一事實。到目前為止，我們的拉普拉斯運算元看起來像這樣

$\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

但現在我們需要把它引入閔可夫斯基空間（一種描述相對論空間的方式）。我們可以注意到拉普拉斯運算元不能應用於四維向量，並且拉普拉斯運算元在洛倫茲變換下不保持不變。為了糾正這一點，我們使用達朗貝爾算符。我們將達朗貝爾算符定義如下

$\Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$

如果我們不關心時間依賴性或相對論，達朗貝爾算符將簡化為拉普拉斯運算元（∇²）。在不同的文字中，表示達朗貝爾算符的方式有很多種。以下是一些在常用文字中使用的不同方法

$\Box =\Box ^{2}=\nabla _{\mathbf {M} }=\partial _{i}\partial ^{i}=\partial ^{2}=\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$

注意

為了簡便起見，本華夏公益教科書將使用 $\Box$ 符號表示達朗貝爾算符。

最後，我們得到用達朗貝爾算符表示的方程，如下所示

$\Box A^{\mu }=-\mu _{0}J^{\mu }$

我們還必須在該方程的積分形式中引入時間項。它變為

$A^{\mu }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {J^{\mu }(r',t')}{|r-r'|}}d^{3}r'$