電動力學/高斯定律

通量

通量實際上是穿過表面的場量的多少。換句話說，它類似於水流；如果你在小溪裡放一個篩子，水就會從篩子裡流過。流過篩子的水量就是通量。

使用水流的類比，點電荷可以被視為源（例如水從哪裡來的水管或水龍頭），或排水溝。水從源頭流出，在電場中流動，並流入排水溝。

如果我們畫出電場線，使我們的排水溝的線連線到排水溝的線，並且如果我們確保沒有線交叉，那麼通量本質上由我們圖紙中線的密度表示。如果我們使用常見的約定，即電荷從正電荷“流出”，並“流入”負電荷，我們可以更好地理解通量是什麼。

表面

表面是一個抽象的數學工具，我們可以用它來探索各種現象。表面是什麼，它是一個圍繞空間區域的殼。考慮一個常見的充氣球，例如足球或籃球。“球”本身只是一個圍繞氣囊的橡膠殼。

就像球一樣，表面只是空間中的一個形狀，它包圍著一定體積。就像球一樣，表面不能有任何縫隙（如果球有縫隙，空氣就會逸出，球就會洩氣）。

高斯定律

如果我們擁有的表面是封閉的，所以它沒有縫隙，那麼你可以想象在河流中，進入表面的水量必須等於離開表面的水量。只有當表面內部有水管時，才能從表面中流出更多水。只有當表面內部有排水溝時，才能更多地進入表面。

或者如果我們回到電場，只有當表面內有電荷時，表面的通量才不為零。

[電場的 Gauss 定律（零電荷）]

$\oint _{S}{\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }=0$

如果沒有電荷在表面內部，其中da是無限小的面積。

現在如果我們將電荷放在表面內部，你可以想象如果我們在裡面有一個水龍頭，我們會得到一個從表面流出的淨通量。電場也是如此。

表面內的電荷

想象一個球體，中心有一個電荷。為了便於使用，我們將用球座標表示球體

$\oint _{S}{\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }=\int {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \right)\cdot (r^{2}\sin \theta d\theta d\rho \mathbf {\hat {r}} )={\frac {1}{\epsilon _{0}}}q$

現在請注意，球體的半徑對淨通量沒有影響，這意味著無論球體大小如何，答案都相同。這可以擴充套件到意味著它完全不依賴於S的形狀。

因此

[電場的 Gauss 定律（非零電荷）]

$\oint _{S}{\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }={\frac {1}{\epsilon _{0}}}Q_{enclosed}$

其中Q_enclosed是位於表面內部的總電荷量。這是電場的 Gauss 定律。

示例：無限帶電平板

想象一個無限均勻帶電的金屬板，其電荷密度為 σ。平板周圍的電場是多少？在這種情況下，因為我們有一個電荷密度為 σ 的平板，但沒有相反電荷的物體，所以我們假設在無窮遠處有一個相反電荷的物體，以便我們的電場線被繪製到那裡。

解 將一個高斯表面穿過金屬板的表面，其側面僅垂直和平行於表面。為了便於起見，我們說我們的高斯表面是一個立方體或一個矩形。設A是平行於板的立方體側面的面積。為了找到板內的總電荷，我們可以將電荷密度 σ 乘以總面積。因此，封閉的電荷為 σ A。

因為板是無限的並且是對稱的，所以E場唯一能去的方向是垂直於板的。如果E場線不垂直於板，它們最終會相互交叉。

$\oint _{S}{\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }=|\mathbf {E} |\int _{S}{d\mathbf {a} }=2A|\mathbf {E} |$

$\oint _{S}{\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }={\frac {1}{\epsilon _{0}}}Q_{enclosed}$

因此

$\mathbf {E} ={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}\mathbf {\hat {n}}$

其中 $\mathbf {\hat {n}}$ 是垂直於平板的單位向量。

用散度表示高斯定律

也許用電場散度來表示高斯定律會更實用

$\nabla \cdot \mathbf {E}$

這使用**散度定理**將我們的原始積分方程變為微分方程

$\oint {\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }=\int (\nabla \cdot \mathbf {E} )dV$

現在如果我們將 Q 用電荷密度 ρ 來表示，那麼我們有

$Q_{Enc}=\int \rho dV$

將其代入我們得到

$\int (\nabla \cdot \mathbf {E} )dV=\int \left({\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\right)dV$

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

請注意，高斯定律總是成立的，但並不總是實用的。你需要一定的對稱性和一個合適的**高斯面**才能有效地使用它。