電動力學/拉普拉斯方程

理論上，庫侖定律可以解決任何已知電荷分佈的靜電問題。然而，在許多情況下，我們並不知道電荷分佈，例如當我們有導體時。在這些情況下，我們必須使用其他方法，例如求解拉普拉斯方程。

拉普拉斯方程

如果我們在空間中電荷密度不為零的區域內對電勢函式使用拉普拉斯運算元，我們將得到一個稱為**泊松方程**的特殊方程。

[泊松方程]

$\nabla ^{2}\varphi ={\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=-{\frac {\rho }{\epsilon }}$

如果電荷密度恰好在整個區域內都為零，則泊松方程變為**拉普拉斯方程**。

[拉普拉斯方程]

$\nabla ^{2}\varphi ={\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=0$

請注意，即使電荷密度為 0，也可能仍然存在電場。當然，場源於電荷，但電荷可能在我們感興趣的區域之外。

這些方程是二階偏微分方程。拉普拉斯方程的解給出了自由空間中電勢的正確形式，滿足所分析系統邊界條件。根據電勢 φ，可以使用梯度運算元計算電場**E**。

當然，V 不是唯一的。對於任何電場，我們都必須設定一個任意位置（通常是無窮遠）作為電勢為 0 的位置。然而，事實證明，如果在區域的邊界處設定 V 的值，則區域內部的 V 是唯一的。這似乎是顯而易見的，但可以用來解決問題。

可以使用多種方法獲得具有指定邊界條件的泊松方程（以及拉普拉斯方程）的解

映象法

假設在 z=0 處有一個無限大的導電平面。假設在 (0,0,a) 處有一個點電荷 q，其中 a>0。平面上的感應電荷是多少？電壓分佈是多少？

這似乎是一個很難用庫侖定律或直接求解拉普拉斯方程來解決的問題。然而，我們知道 V 在無窮遠處為 0。由於導電平面將是一個等勢面，我們也知道整個平面 V=0（否則，電荷將流向和流出無窮遠）。因此，我們知道邊界條件。

讓我們解決一個不同的問題：假設在 (0,0,a) 處有一個點電荷 q，在 (0,0,-a) 處有另一個點電荷 -q。V 是多少？我們知道$V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {-q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}}+{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}}\right]$請注意，此 V 在無窮遠處為 0，並且在平面 z=0 處為 0。因此，由於指定邊界條件後拉普拉斯方程解的唯一性，此 V 是原始問題的解！請注意唯一性定理的關鍵作用。如果沒有它，如果我們聲稱這是第一個問題的解，沒有人會相信我們。

通常，如果我們在無限導電平面上方有任何物體，要找到電壓分佈，我們可以使用映象法。我們首先將物體繞平面反射，然後反轉電荷。這將建立一個映象（因此得名），它與原始電荷一起將在平面上和無窮遠處產生 V=0，因此，由物體和導電平面建立的電勢與由物體及其映象建立的電勢相同。

變數分離法

映象法僅適用於某些分佈。然而，變數分離法更為通用。前提是這樣的：假設$V(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$。X(x) 與 y 和 z 無關，依此類推。當然，這並非一定正確。然後，拉普拉斯方程變為

$YZ{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+XZ{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+XY{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial z^{2}}}=0$

或

${\frac {1}{X}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial z^{2}}}=0$

現在，假設我們改變 x 而保持 y 不變。那麼，表示式${\frac {1}{Y}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial z^{2}}}$ 沒有改變，因為該表示式不依賴於 x。因此，我們知道${\frac {1}{X}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}$ 必須是常數。這變成了一個普通微分方程，求解起來容易得多。事實上，如果常數為正，則它是一個指數函式；如果常數為負，則它是一個正弦函式。常數的符號必須由邊界條件確定。由於拉普拉斯方程是線性的，所以所有解的疊加也將是一個解，因此通解將是一個無限和（通常是傅立葉級數），具有無限多個引數，這些引數需要根據邊界條件確定。