電動力學/Lienard-Wiechert勢

假設有一個點電荷 q，其位置始終由 $\mathbf {\gamma } (t)$ 給出。我們將使用上一節中推匯出的公式來求解勢和場。

延遲時間由 $t_{ret}=t-{\frac {||\mathbf {r} -\mathbf {\gamma } (t_{ret})||}{c}}$ 給出（因為當我們回溯時，粒子不再處於當前位置，而是在 $\gamma (t_{ret})$）。請注意，由於粒子以亞光速運動，最多隻有一個先前的粒子例項會生成該點的場。因此，$\mathbf {\eta } =\mathbf {r} -\mathbf {\gamma } (t_{ret})$ 是一個唯一的向量。

因此，標量勢為

$\phi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ,t_{ret})}{||\mathbf {\eta } ||}}dV={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}||\mathbf {\eta } ||}}\int \rho (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ,t_{ret})dV$

你可能會認為它等於

${\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}||\mathbf {\eta } ||}}$

但這是錯誤的！原因非常微妙：為了使積分等於總電荷，電荷分佈必須在特定時間被取。然而，我們必須在不同時間對每個點進行評估！因此，帶電粒子被“塗抹”了！即使我們正在考慮一個點粒子，公式仍然是錯誤的，因為修正因子不取決於幾何尺寸！

假設粒子是一個長度為 a 的盒子，並且正在向我們移動。但是，我們將觀察到該粒子具有長度 b，因為同時到達我們眼睛的盒子前後方的光來自不同的時間。在來自盒子後方的光傳播額外的距離 b 的時間裡，汽車移動了距離 $b-a$，所以

${\frac {b}{c}}={\frac {b-a}{v}}$，並且 $b={\frac {a}{1-v/c}}$；盒子被拉伸了 ${\frac {1}{1-v/c}}$ 倍，這與物體的尺寸無關。這不是長度收縮效應；這更類似於多普勒頻移。

標勢的正確公式為

$\phi =\left({\frac {1}{1-\mathbf {\hat {\eta }} \cdot \mathbf {w} '(t_{ret})/c}}\right){\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}||\mathbf {\eta } ||}}$

其中 $\mathbf {w} '(t_{ret})$ 是粒子在時間 $t_{ret}$ 的速度。

電流密度為 $\rho \mathbf {v}$，透過類似的論證，

$\mathbf {A} =\left({\frac {1}{1-\mathbf {\hat {\eta }} \cdot \mathbf {w} '(t_{ret})/c}}\right){\frac {\mu _{0}q\mathbf {v} }{4\pi ||\mathbf {\eta } ||}}={\frac {\mathbf {v} }{c}}\phi$

這些是運動電荷的 Lienard-Wiechert 勢。修正因子用於指向我們測量勢的點的速度分量。