電動力學/洛倫茲變換

場和力

電磁場產生的力是我們實際測量電磁現象的主要方面。這些向量量與標量勢和向量勢的關係如下

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

E 是電場向量，B 是磁場向量。由於這些方程，電場常被稱為“E 場”，磁場常被稱為“B 場”。本書可能使用這兩種符號中的任何一種。

洛倫茲方程

透過將這些方程與規範理論中力的通用表示式進行比較，我們發現作用在電荷為q的粒子上的電磁力為

$\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$

其中v 是粒子的速度。由於歷史原因，它被稱為洛倫茲力。

相對論

簡而言之，相對論是對參考系的學習。參考系是一個固定的座標系，根據它進行區域性測量。考慮兩個觀察者的常見例子：觀察者 A 位於一輛運動的火車上，觀察者 B 站在田野裡觀察火車。以下是兩位觀察者所看到的：

觀察者 A

觀察者 A 看見火車是靜止的，而田野是運動的。

觀察者 B

觀察者 B 看見田野是靜止的，而火車是運動的。

這兩位觀察者本質上都是其自身座標系的原點。顯然，這兩個座標系可以透過某種變換相互關聯，即觀察者 A 可以看到的東西可以轉換成根據觀察者 B 的座標，反之亦然。

線上性代數中，一個座標系有一個基，這是一個小的單位向量集，可以用來描述該系統中的所有點。如果我們能夠關聯觀察者 A 和觀察者 B 的基向量，那麼我們就可以將任何一個系統中的點關聯到另一個系統。

因為基向量是向量（秩為 1 的張量），所以它們之間的變換通常是矩陣（秩為 2 的張量）。

狹義相對論基於這樣一個思想，即物理定律在所有慣性參考系中都是相同的，並且光速c是一個常數，與參考系無關。如果一個方程在對其應用洛倫茲變換時滿足這些要求，則稱該方程是“在洛倫茲變換下不變的”。我們將看到，洛倫茲不變性要求在電動力學中是重要的。

另一個主題，廣義相對論，將相對論的數學思想擴充套件到非慣性系。本書不會討論廣義相對論主題。

洛倫茲變換

我們很容易但天真地只考慮 3 個基向量。這些向量，空間向量，可以毫無疑問地被稱為“X”、“Y”和“Z”。然而，愛因斯坦關於相對論的著作中的一個重要結果是，時間也取決於參考系，因此我們需要同時考慮空間中的所有點（X、Y 和 Z 向量）以及時間（T 向量）。我們所有的向量都具有長度為 4 的長度，並且我們的變換矩陣必須是 4×4 矩陣。一個使用三個空間座標和 1 個時間座標的 4×4 變換矩陣被稱為洛倫茲變換矩陣，或簡稱為“洛倫茲變換”。

如果我們有兩個座標系，(X, Y, Z, T) 和 (X', Y', Z', T')，並且它們是非慣性系，我們可以使用L 變換函式將這兩個系關聯起來

$X'=L_{X}(X)$

$Y'=L_{Y}(Y)$

$Z'=L_{Z}(Z)$

$T'=L_{T}(T)$

現在，如果每個元素 X'、Y'、Z' 和 T' 與 X、Y、Z 和 T 線性相關，我們就可以將 L 轉換為矩陣

${\begin{bmatrix}X'\\Y'\\Z'\\T'\end{bmatrix}}=\mathbf {L} {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\T\end{bmatrix}}$

從這個等式我們可以看到，如果我們要對一個座標系應用洛倫茲變換，座標必須指定為長度為 4 的向量。我們將所有長度為 4 的向量稱為“四維向量”。我們將在後面的章節中討論四維向量。

慣性系和非慣性系

慣性系是指沒有淨加速度的參考系。考慮上面兩個觀察者的例子，觀察者 A 和觀察者 B。觀察者 A 在一輛火車上，觀察者 B 從遠處觀察這列火車。如果火車以恆定的速度直線行駛，那麼這兩個參考系就是慣性系。但是，如果火車正在加速或減速，或者火車沒有直線行駛，那麼這兩個參考系就是非慣性系。

慣性系的研究領域被稱為狹義相對論。非慣性系的研究領域被稱為廣義相對論。在這本書中，我們將只考慮狹義相對論。

歐姆定律

歐姆定律的連續形式只在導電材料的參考系中有效。如果材料相對於磁場B以速度v運動，則必須新增一項，如下所示

$\mathbf {J} =\sigma \cdot \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

與洛倫茲力的類比是顯而易見的，事實上歐姆定律可以從洛倫茲力和假設電荷載流子上的阻力與其速度成正比推匯出來。