電動力學/磁場/螺線管

螺線管是由通電線圈組成的。

垂直導線陣列

首先，我們考慮穿過平面的無限垂直導線陣列。這可以看作一個非常高而窄的螺線管，由於與平面的距離，可以忽略導線在頂部和底部的透過。

我們將在這個平面上找到磁場。現在，回想一下，繞單根無限長直導線的磁場是圓形的，且某點的磁場強度由下式給出

$B={\frac {\mu I}{2\pi r}}$

其中

• B 是磁場強度，單位為特斯拉
• μ 是導線之間介質的磁導率，單位為 T m A^-1
• I 是流過導線的電流，單位為安培
• r 是導線到該點的垂直距離，單位為米

還需要記住，某點的總磁場可以透過將每根導線的各個磁場疊加得到。然而，我們不能僅僅將導線的磁場強度相加，因為磁場既有強度，又有方向，因此會根據相對電流方向加強或抵消另一根導線的磁場。因此，我們必須先計算出每根導線的向量貢獻，然後將它們疊加起來。

現在，我們知道磁場是圓形的。向量場 xi-yj 在關於 (0,0) 的平面上是圓形的，但它的大小並不恆定。該向量場的大小由下式給出

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

因此，在任何地方都具有單位大小且為圓形方向的向量場為

${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\mathbf {i} -{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\mathbf {j}$

現在，我們可以將該向量場從以原點為中心移到以點 (x_i,y_i) 為中心

${\frac {x-x_{i}}{\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}}\mathbf {i} -{\frac {y-y_{i}}{\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}}\mathbf {j}$

為了使場與磁場相匹配，我們必須再次除以從該點到導線的距離（忽略 μ/2π 因子）。但是，我們確實包含了一個電流項以允許電流方向

${\frac {x-x_{i}}{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}I\mathbf {i} -{\frac {y-y_{i}}{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}I\mathbf {j}$

現在，所有 n 根導線的向量場，每根導線都在點 (x_i,y_i)，根據疊加原理為

$I\sum _{i=1}^{n}{\frac {x-x_{i}}{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}\mathbf {i} -I\sum _{i=1}^{n}{\frac {y-y_{i}}{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}\mathbf {j}$

回想一下，向量的大小由下式給出

$|a\mathbf {i} +b\mathbf {j} |={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

因此，某點處結果向量的幅值為

${\sqrt {\left(I\sum _{i=1}^{n}{\frac {x-x_{i}}{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}\right)^{2}-\left(I\sum _{i=1}^{n}{\frac {y-y_{i}}{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}\right)^{2}}}$

下面是 12 根載有單位電流的導線的磁場幅度圖。請記住，每根導線都被建模為無限細的。