電動力學/麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組

當詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在進行電動力學研究時，我們一直在討論的幾個概念還沒有被引入數學世界。例如，向量微積分是一個非常年輕的學科，許多目前正在使用的運算子（散度、旋度、拉普拉斯運算元）在麥克斯韋時代並不存在。

最初的“麥克斯韋方程組”是一組 20 個複雜的微分方程，它們主要關注磁勢的概念（這是一個在這些方程的現代變體中幾乎完全被忽略的量）。

海因裡希·赫茲和奧利弗·亥維賽德做了很多工作，將麥克斯韋的原始方程轉化為更方便的形式。電場和磁場被認為是最重要的，而磁勢則從公式化中被刪除了。從赫茲和亥維賽德那裡，我們得到了我們今天所知的被稱為“麥克斯韋方程組”的四個方程。

四個方程

以下是麥克斯韋方程組。這些方程中的幾個已經在前面的章節中見過。

[靜電高斯定律]

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

[靜磁高斯定律]

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

[法拉第定律]

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

[安培-麥克斯韋定律]

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

其中：$\rho$ 是電荷密度，它可以（而且通常確實）取決於時間和位置，$\epsilon _{0}$ 是真空介電常數，$\mu _{0}$ 是真空磁導率，$\mathbf {J}$ 是電流密度向量，也是時間和位置的函式。上面使用的單位是標準的 SI 單位。線上性材料內部，麥克斯韋方程組透過將真空磁導率和真空介電常數替換為所討論的線性材料的磁導率和介電常數而發生變化。在其他對電磁場具有更復雜響應的材料內部，這些項通常由複數或張量表示。

我們可以用另一種形式寫麥克斯韋方程組，它將每個場與其源相關聯：透過對第三個方程取旋度，我們得到

$\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {B}$

由於

$\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\nabla \rho -\nabla ^{2}\mathbf {E}$

以及由於

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

我們得到

${\frac {1}{\epsilon _{0}}}\nabla \rho -\nabla ^{2}\mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}})$

或者 $\nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}+{\frac {1}{\epsilon _{0}}}\nabla \rho$

類似地， $\nabla ^{2}\mathbf {B} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}\nabla \times \mathbf {j}$

使用張量

應該注意，如果不能立即注意到，前兩個方程本質上是等價的，而後兩個方程具有類似的形式，應該能夠組合成一個單一的形式。我們可以使用我們的場張量F和G將4個麥克斯韋方程組合成兩個更簡潔的方程

$\sum _{\mu }{\frac {\partial \mathbb {F} _{\mu \nu }}{\partial x_{\mu }}}=4\pi j_{\nu }$

$\sum _{\mu }{\frac {\partial \mathbb {G} _{\mu \nu }}{\partial x_{\mu }}}=0$

對稱性

您可能會注意到這兩個方程非常相似，但它們並不完全對稱。磁場方程的簡化是因為磁場總是具有兩個相反的極性，而電場可能只有一個單極性。這些方程中缺乏對稱性促使科學家尋找磁單極，我們將在後面的章節中討論它。

除了這些方程的形式之外，試圖描述自然界所有力的現代“統一理論”（包括電磁力和引力）通常假設單極子的存在。作為一個基本考慮因素，物理學中許多方程和過程之間的相似性和對稱性通常會導致對全新實體或現象的發現。因此，磁場和電場方程之間明顯的缺乏對稱性是科學家尋找單極子的簡單而合乎邏輯的原因。