電動力學/麥克斯韋方程組

簡介

麥克斯韋方程組連同洛倫茲力一起完整地描述了電磁學。在前面的章節中，電磁理論已經正確地表述出來，並準備在一個地方整合起來。

麥克斯韋之前的電動力學

1. 高斯定律

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

2. 無磁單極子定律

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

3. 法拉第定律

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

4. 安培定律

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$

這組方程代表了詹姆斯·克拉克·麥克斯韋開始其工作時的電磁學狀態。該組方程的第一個方程是高斯定律。高斯定律指出電通量始於電荷並終止於電荷或無窮遠。第二個沒有名字的定律指出磁場線不始於也不終止於任何地方。法拉第定律指出變化的磁場會產生電場。最後，安培定律指出磁場是由運動的電荷產生的。

當時的電磁學存在一個重大矛盾。仔細研究麥克斯韋方程組，可以發現場的散度是對稱的。觀察場的旋度，可以發現安培定律可能缺少一項。如果對安培定律取散度，會得到一個有趣的結果。

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}(\nabla \cdot \mathbf {J} )$

方程的左側包含了散度和旋度的一個熟知的數學事實：旋度的散度為零。問題出現在方程的右側。一般情況下，右側不為零。對於穩態電流，$\mathbf {J}$ 的散度為零，但在靜磁學之外，安培定律就不正確了。要觀察安培定律在非穩態電流下失效的一種方法是考慮一個正在充電的電容器。

麥克斯韋的修正

沒有理由期望安培定律在靜磁學之外成立。安培定律來自於畢奧-薩伐爾定律，該定律適用於穩態電流的情況。一個動機來自連續性方程和高斯定律。連續性方程指出

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

利用高斯定律，很容易證明

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-\nabla \cdot \epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

加上這一項，就得到了麥克斯韋對安培定律的修正。安培定律現在指出

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

麥克斯韋並沒有使用連續性方程作為主要動機來得到安培定律所需的修正。這種對安培定律的修改並沒有改變任何與靜磁學相關的內容。無論何時電場不隨時間變化，都能夠恢復沒有附加項的安培定律。麥克斯韋的項從未被邁克爾·法拉第或其他人透過實驗發現，因為麥克斯韋的項與電流密度相競爭。麥克斯韋的項，也被稱為位移電流，給方程組帶來了美學上的吸引力。正如法拉第定律所說，變化的磁場會產生電場，安培定律現在也說變化的電場會感應出磁場。

麥克斯韋方程組

隨著新的改進的安培定律，現在是時候展示麥克斯韋方程組的全部四個方程了。

1. 高斯定律

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

2. 無磁單極子定律

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

3. 法拉第定律

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

4. 包含位移電流的安培定律

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

這些方程被稱為麥克斯韋方程組。麥克斯韋將這四個方程與洛倫茲力結合在一起，完整地概括了電動力學的理論內容。麥克斯韋方程組描述了電荷如何產生場，而洛倫茲力描述了場如何影響電荷。