電動力學/求解麥克斯韋方程組

我們將求解勢的兩個方程，並將它們組合起來生成 E 和 B 的解。這兩個方程是

$\nabla ^{2}\phi -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

$\nabla ^{2}\mathbf {A} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}J$

延遲時間

想象一個無限平面。在時間 0 時，電流被開啟，因此應該產生磁場。在時間 0 之後，一個非常遠點的場是多少？它仍然為 0，因為電流被開啟的“訊息”還沒有到達那裡。電磁資訊以光速傳播。這並不奇怪，因為光是電磁現象。我們已經看到電磁波以光速傳播；只有所有電磁場都以該速度傳播才有意義。

因此，讓我們引入量$t_{ret}=t-r/c$稱為延遲時間。假設我們有一個固定點 P，現在是時間 t。在另一個點 Q，傳送電磁波。到達 P 的波不是在那一刻產生的，而是在$t_{ret}$產生的。這是因為光需要$PQ/c$時間傳播到 P，所以我們必須從 t 中減去它。

事實證明，勢方程的最一般解由下式給出

$\phi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ,t_{ret})}{||\mathbf {r} -\mathbf {r'} ||}}dV$

和

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ,t_{ret})}{||\mathbf {r} -\mathbf {r'} ||}}dV$

當 $t_{ret}=t-{\frac {||\mathbf {r} -\mathbf {r'} ||}{c}}$

注意，勢在實際時間 t 時給出，而積分中出現的時間是延遲時間。此外，積分是在 r' 上進行的。第三，注意 $t_{ret}$ 同時是 r 和 r' 的函式；在對包含延遲時間的積分和導數進行運算時要牢記這一點。

最後，請注意以下等式是 **不正確** 的

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ,t_{ret})}{||\mathbf {r} -\mathbf {r'} ||^{2}}}dV$

正如類比可能預期的那樣。因此，我們關於勢的公式並非一個平凡的等式；它們必須透過麥克斯韋方程進行檢驗。

另一方面，既然我們知道 $\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B}$ 以及 $-\nabla \phi =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$，我們可以 "輕鬆地" 從勢中計算場。