電子學/擴充套件版共振

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共振

簡單的共振電路，描述。

濾波器

理想濾波器

(討論理想濾波器如何提供訊號直到截止頻率，然後提供總衰減。也就是說，它們看起來像一個 $u(\omega )-uu(\omega -\omega _{c})$ 對於低通濾波器，其中 u(w) 是單位階躍函式或 Heaviside 函式。也就是說，它們在截止頻率處有無限的下降。如何實現這一點是不可能的。漂亮的低通、高通、帶通、帶阻濾波器圖表。）

圖 1：理想低通濾波器的傳遞函式。

圖 2：理想高通濾波器的傳遞函式。

圖 3：理想帶通濾波器的傳遞函式。

圖 4：理想帶阻濾波器的傳遞函式。

本節介紹一階巴特沃斯低通和高通濾波器。理解拉普拉斯變換，或者至少理解電容、電感和電阻的拉普拉斯變換。

低通

圖 1：基本的 RC 電路。

將電阻和電容變換到拉普拉斯域，我們得到

R 和 ${\frac {1}{Cs}}$.

用 $V_{in}(s)$ 表示 $V_{out}(s)$.

$V_{out}(s)={\frac {V_{in}(s){\frac {1}{Cs}}}{R+{\frac {1}{Cs}}}}$

$V_{out}(s)={\frac {V_{in}(s)}{RCs+1}}$

傳遞函式是

$H(s)={\frac {V_{out}(s)}{V_{in}(s)}}$

所以

$H(s)={\frac {1}{RCs+1}}$

對於頻域，我們將 $s=j\omega$

$H(\omega )={\frac {1}{jRC\omega +1}}$

幅值為

$|H(\omega )|={\frac {1}{\sqrt {R^{2}C^{2}\omega ^{2}+1}}}$

相位為

$<H(\omega )=-arctan(RC\omega )\,$

隨著$\omega$的增加，$|H(j\omega )|$降低，所以該電路必須代表低通濾波器。

使用-3dB頻寬定義。 $|H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

${\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {R^{2}C^{2}\omega ^{2}+1}}}$

因此

$2=R^{2}C^{2}\omega ^{2}+1$

$\omega ={\frac {1}{RC}}$

這給出了低通巴特沃斯濾波器的一般形式為

$|H(\omega )|={\frac {1}{\sqrt {1+({\frac {\omega }{\omega _{c}}})^{2k}}}}$

, 其中k是濾波器的階數，$\omega _{c}$是截止頻率。

高通

(一階RL高通濾波器的影像)

如果電路的所有元件都轉換到拉普拉斯域。電阻變為$R$，電感變為$Ls$。使用電壓分配規則，可以得到下面的$H(s)$。

$H(s)={\frac {\frac {Rs}{L}}{1+{\frac {Rs}{L}}}}$

如果$H(s)$透過將$s=j\omega$代入轉換到頻域。

$H(\omega )={\frac {\frac {j\omega R}{L}}{1+{\frac {j\omega R}{L}}}}$

其幅值為

$|H(\omega )|={\frac {\sqrt {\frac {\omega ^{2}R^{2}}{L^{2}}}}{\sqrt {1+{\frac {\omega R^{2}}{L^{2}}}}}}$

其相位為

$<H(\omega )=90-\arctan({\frac {\omega R}{L}})$

(截止頻率為 w (R/L)^0.5)