電子/RCL 頻域

圖 1：RCL 電路

定義極點頻率$\omega _{n}$ 和阻尼係數 $\alpha$ 為

${\frac {R}{L}}=2\alpha$

${\frac {1}{LC}}=\omega _{n}^{2}$

為了分析電路，首先計算 s 域中的傳遞函式 H(s)。對於圖 1 中的 RCL 電路，得到

$H(s)={\frac {s{\big (}s+2\alpha {\big )}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{n}^{2}}}$

$H(s)={\frac {s{\big (}s+2\alpha {\big )}}{{\big (}s+\alpha +j{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}{\big )}{\big (}s+\alpha -j{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}{\big )}}}$

當開關閉合時，這會對 RCL 電路施加一個階躍波形。階躍由$Vu(t)$ 給出。其中 V 是階躍的電壓，u(t) 是單位階躍函式。電路的響應由衝激響應 h(t) 和階躍函式$Vu(t)$ 的卷積給出。因此，輸出由 s 域中的乘積 H(s)U(s) 給出，其中$U(s)=V{\frac {1}{s}}$ 由 附錄 中提供的拉普拉斯變換給出。

u(t) 和 h(t) 的卷積由

$H(s)U(s)={\frac {V{\big (}s+2\alpha {\big )}}{{\big (}s+\alpha +j{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}{\big )}{\big (}s+\alpha -j{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}{\big )}}}$

根據 $\alpha$ 和 $\omega _{n}$ 的值，系統可以被描述為：

3. 如果 $\alpha <\omega _{n}$，則稱該系統為 **欠阻尼**。h(t)*u(t) 的解由以下公式給出：

$h(t)*u(t)=Ve^{-\alpha t}{\big (}\cos({\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}t)+{\frac {\alpha }{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}}\sin({\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}t){\big )}$

示例

給定以下值，當開關閉合時系統的響應是什麼？

R	L	C	V
0.5H	1kΩ	100nF	1V

首先計算 $\alpha$ 和 $\omega _{n}$ 的值。

$\alpha ={\frac {R}{2L}}=1000$

$\omega _{n}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\approx 4472$

從這些值可以看出 $\alpha <\omega _{n}$。因此，該系統是 **欠阻尼** 的。電容器兩端的電壓方程為：

$h(t)*u(t)=e^{-1000t}{\big (}\cos(4359t)+0.229\sin(4359t){\big )}$

圖 2：欠阻尼響應