電子學/RCL 時域簡述

圖 1：RCL 電路

當開關閉合時，一個電壓階躍被施加到 RCL 電路。將開關閉合的時間設為 0 秒，這樣開關閉合前的電壓為 0 伏，閉合後的電壓為電壓 V。電容兩端的電壓由一個強迫響應 $v_{f}$ 和一個自然響應 $v_{n}$ 組成，使得

$v_{c}=v_{f}+v_{n}$

強迫響應是由開關閉合引起的，對於 $t\geq 0$，其值為電壓 V。自然響應取決於電路引數，如下所示。

定義極點頻率 $\omega _{n}$ 和阻尼係數 $\alpha$ 為

$\alpha ={\frac {R}{2L}}$

$\omega _{n}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

根據 $\alpha$ 和 $\omega _{n}$ 的值，系統可以被描述為

1. 如果 $\alpha >\omega _{n}$，系統被稱為 **過阻尼**。系統的解形式為

$v_{n}(t)=A_{1}e^{{\big (}-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{n}^{2}}}{\big )}t}+A_{2}e^{{\big (}-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{n}^{2}}}{\big )}t}$

2. 如果 $\alpha =\omega _{n}$，系統被稱為 **臨界阻尼**。系統的解形式為

$v_{n}(t)=Be^{-\alpha t}$

3. 如果 $\alpha <\omega _{n}$，則該系統被稱為 **欠阻尼**。系統的解具有以下形式：

$v_{n}(t)=e^{-\alpha t}{\big [}B_{1}\cos({\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}t)+B_{2}\sin({\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}t){\big ]}$

這些方程是如何計算的？

示例

給定以下值，當開關閉合時，系統的響應是什麼？

R	L	C	V
1kΩ	0.5H	100nF	1V

首先計算 $\alpha$ 和 $\omega _{n}$ 的值。

$\alpha ={\frac {R}{2L}}=1000$

$\omega _{n}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\approx 4472$

從這些值中可以看出，$\alpha <\omega _{n}$。因此，該系統為 **欠阻尼**。電容器兩端的電壓方程為：

$v_{c}(t)=1+e^{-1000t}{\big [}B_{1}\cos(4359t)+B_{2}\sin(4359t){\big ]}$

在開關閉合之前，假設電容器完全放電。這意味著開關閉合的瞬間（t=0）時，v(t)=0。將 t=0 代入上述方程得到：

$0=1+B_{1}$

因此，$B_{1}=-1$。類似地，在開關閉合的瞬間，電感器中的電流必須為零，因為電流不能瞬時變化。將 $v_{c}(t)$ 的方程代入電感器方程，並在開關閉合的瞬間（t=0）求解，得到：

$i(t)={\frac {dv_{c}(t)}{dt}}C$
$0=100\cdot 10^{-9}{\big [}4359B_{2}-1000B_{1}{\big ]}$

因此 $B_{2}\approx -0.229$。一旦 $v_{c}(t)$ 已知，電感器和電阻器上的電壓（$V_{out}$）由下式給出

$v_{out}=e^{-1000t}{\big [}\cos(4359t)+0.229\sin(4359t){\big ]}$

您遺漏了很多步驟，它們在哪裡？

圖 2：欠阻尼響應

檔案：Example1 underdamped.png