電子學/疊加

電子學 | 前言 | 基礎電子學 | 複雜電子學 | 電力 | 機器 | 電子學史 | 附錄 | 編輯

---

疊加原理

(a)

(b)

(c)

圖1: 顯示電阻器線性的電路。

最基本的電子電路由線性元件組成。線性元件是遵循歐姆定律的電路元件。在圖1(a)中，獨立電壓源V₁和電阻器R，電流i₁流動。電流i₁的值根據歐姆定律。類似地在圖1(b)中，獨立電壓源V2和電阻器R，電流i₂流動。在圖1(c)中，獨立電壓源V1和V2，以及電阻器R，電流i流動。使用歐姆定律方程1可以得出。如果使用一些簡單的代數，則可以得出方程2。但V₁/R的值為i₁，另一項為i₂，這給出了方程3。這基本上就是疊加定理所述的。

$i={\frac {V_{1}+V_{2}}{R}}$(1)

$i={\frac {V_{1}}{R}}+{\frac {V_{2}}{R}}$(2)

$i=i_{1}+i_{2}\,$(3)

疊加定理指出，所有電源及其對應激勵作用線上性元件電路上的效果等於每個單獨效果的代數和。每個單獨效果都是透過移除所有其他激勵來計算的，方法是將電壓源替換為短路，將電流源替換為開路。只要控制激勵不設定為零，就可以移除相關源。以一次連線一個激勵的方式計算每個效果的過程一直持續到計算完所有效果為止。如果第k個激勵用sk表示，由sk產生的效果用ek表示。

$\sum _{k=1}^{N}e_{k}$(4)

使用疊加的步驟如下

1. 依次計算每個電源的效果，所有其他獨立電壓源短路，所有獨立電流源開路。

2. 將這些效果加在一起，得到完整的效果。

注意：移除每個電源通常用不同的方式描述：用其內部電阻替換每個電壓源，用其內部電阻替換每個電流。這與上面描述的相同。這是因為實際的電壓源由一個獨立的電壓源與其內部電阻串聯組成，實際的電流源由一個獨立的電流源與其內部電阻並聯組成。

疊加示例

圖2: 示例電路。

問題: 計算電阻器R₁上的電壓v。

步驟1: 短路V₂，求解v₁。透過電壓分配規則。

$v_{1}={\frac {V_{1}(R_{1}||R_{3})}{R_{2}+(R_{1}||R_{3})}}$(5)

短路V₁，求解v₂。透過電壓分配規則。

$v_{2}={\frac {V_{2}(R_{1}||R_{2})}{R_{3}+(R_{1}||R_{2})}}$(6)

步驟 2：將影響累加。

$v=v_{1}+v_{2}\,$

使用公式 5 和 6。

$v={\frac {V_{1}(R_{1}||R_{3})}{R_{2}+(R_{1}||R_{3})}}+{\frac {V_{2}(R_{1}||R_{2})}{R_{3}+(R_{1}||R_{2})}}$

如果 $R_{1}=R_{2}=R_{3}=2k\Omega$ 以及 $V_{1}=V_{2}=15V$ 那麼

$v={\frac {15(2k||2k)}{2k+(2k||2k)}}+{\frac {15(2k||2k)}{2k+(2k||2k)}}$

$v={\frac {15(1k)}{3k}}+{\frac {15(1k)}{3k}}$

$v=10V\,$