電子學手冊/電路/並聯電路

串聯電路

電子元件 R、L、C 可以並聯連線形成 RL、RC、LC、RLC 串聯電路

1. RC 並聯
2. RL 並聯
3. LC 並聯
4. RLC 並聯

並聯 RC

電路的總阻抗

$Z=Z_{R}+Z_{C}=R+{\frac {1}{j\omega C}}={\frac {1+j\omega RC}{j\omega C}}$

$Z={\frac {1}{j\omega C}}(1+j\omega T$)

T = RC

在平衡狀態下，所有電壓之和等於零

$C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0$

${\frac {dV}{dt}}=-{\frac {1}{RC}}V$

${\frac {1}{V}}dV=-{\frac {1}{RC}}dt$

$\int {\frac {1}{V}}dV=-\int {\frac {1}{RC}}dt$

ln V = $-{\frac {1}{RC}}+C$

$V=e^{-}({\frac {1}{RC}})t+C$

$V=Ae^{-}({\frac {1}{T}})t$

$A=e^{C}$

T = RC

電路的阻抗在極座標系中

$Z=Z_{R}+Z_{C}$

$Z=R\angle 0+{\frac {1}{\omega C}}\angle -90$

${\sqrt {R^{2}+({\frac {1}{\omega C}})^{2}}}\angle Tan^{-}1{\frac {1}{\omega RC}}$

電壓和電流之間的相位角差 電壓和電流之間存在角度差。電流超前於電壓 θ 角

$Tan\theta ={\frac {1}{\omega RC}}={\frac {1}{2\pi fRC}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {t}{T}}$

總結

RL 串聯電路具有電壓的一階微分方程

${\frac {d}{dt}}f(t)+{\frac {t}{T}}=0$

它有一個實根

$V(t)=Ae^{\frac {-t}{T}}$

$A=e^{c}$

電路在平衡時的自然響應是指數衰減函式

電壓和電流之間的相位角差

$Tan\theta ={\frac {1}{\omega RC}}={\frac {1}{2\pi fRC}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {t}{T}}$

並聯 RL

總電路的阻抗用直角座標表示

$Z=Z_{R}+Z_{L}=R+j\omega L$

$Z={\frac {1}{R}}(1+j\omega T)$

$T={\frac {L}{R}}$

在平衡狀態下，所有電壓之和等於零

$L{\frac {dI}{dt}}+IR=0$

${\frac {dI}{dt}}=-I{\frac {R}{L}}$

$\int {\frac {1}{I}}dI=-\int {\frac {L}{R}}dt$

ln I = $(-{\frac {L}{R}}+c)$

I = $e^{(}-{\frac {L}{R}}+c)t$

I = $e^{c}e^{(}-{\frac {L}{R}}t)$

I = $Ae^{(}-{\frac {L}{R}}t)$

電路的阻抗在極座標中

$Z=Z_{R}+Z_{L}=R\angle 0+\omega L\angle 90$

${\sqrt {R^{2}+(\omega L)^{2}}}\angle Tan^{-}1\omega {\frac {L}{R}}$

電壓和電流之間的相位角

$Tan\theta =\omega {\frac {L}{R}}=2\pi f{\frac {L}{R}}=2\pi {\frac {T}{t}}$

總結

總而言之，RL 串聯電路的電流具有一個一階微分方程

${\frac {d}{dt}}f(t)+{\frac {1}{T}}=0$

它有一個實根

$I(t)=Ae^{\frac {t}{T}}$

$A=e^{c}$

電路在平衡時的自然響應是指數衰減函式

電壓和電流之間的相位角

$Tan\theta =\omega {\frac {L}{R}}=2\pi f{\frac {L}{R}}=2\pi {\frac {T}{t}}$

並聯 LC

自然響應

總電路的阻抗在直角座標系中

$Z=|Z|\angle \theta$

$Z=|Z_{L}-Z_{C}|\angle \pm 90$ . Z_L = Z_C

$Z=0\angle 0$ . Z_L = Z_C

電路在平衡時的自然響應

$L{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int Idt=0$

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}=0$

$s^{2}+{\frac {1}{LC}}=0$

$s=\pm {\sqrt {\frac {1}{LC}}}t=\pm \omega t$

$I=e^{(}st)$

$I=e^{j}\omega t+e^{-}j\omega t$

$I=ASin\omega t$

電路的平衡狀態下的自然響應是正弦波

共振響應

在共振時，電路的總阻抗為零，總電壓為零

$Z_{L}-Z_{C}=0$

$\omega L={\frac {1}{\omega C}}$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

$V_{L}+V_{C}=0$

$V_{L}=-V_{C}$

電路在共振時的共振響應是駐波（正弦波）

並聯 RLC

自然響應

在平衡狀態下，所有電壓的總和等於零

$L{\frac {dI}{dt}}+IR+{\frac {1}{C}}\int Idt=0$

${\frac {dI}{dt}}+I{\frac {R}{L}}+{\frac {1}{LC}}=0$

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{LC}}=0$

$s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}=0$

$s=(-\alpha \pm \lambda )t$

其中

$\alpha ={\frac {R}{2L}}$ 和

$\beta ={\frac {1}{LC}}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

當 $\alpha ^{2}=\beta ^{2}$

$s=-\alpha t$

$I=e^{(}-\alpha )t$

電路的響應是指數衰減。

當 $\alpha ^{2}>\beta ^{2}$

$s=(-\alpha \pm \lambda )t$

$I=e^{-}\alpha t\pm (e^{\lambda }t+e^{-}\lambda t)$

電路的響應是指數衰減。

當 $\alpha ^{2}<\beta ^{2}$

$s=(-\alpha \pm \lambda )t$

$I=e^{-}\alpha t\pm (e^{j}\lambda t+e^{-}j\lambda t)$

電路的響應是指數衰減正弦波。

電路總阻抗

$Z=Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}$

$Z=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}$

$Z={\frac {1}{j\omega C}}(j\omega ^{2}+j\omega {\frac {R}{L}}+{\frac {1}{LC}})$

共振響應

電路的總阻抗

$Z=Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}=R+0=R$

$I={\frac {V}{R}}$

$Z_{L}=Z_{C}$

$j\omega L={\frac {1}{j\omega C}}$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

在諧振頻率 $\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$ 時，電路的總阻抗為 Z = R，此時阻抗值最小，電流達到最大值：$I={\frac {V}{R}}$

觀察電路，在 $At\omega =0Z_{C}=oo$ 時，電容器相當於開路。因此，電流等於零。在 $\omega =ooZ_{L}=oo$ 時，電感相當於開路。因此，電流等於零。

總結

串聯 RL，RC

串聯 RC 和 RL 的特徵方程是如下形式的一階微分方程：

${\frac {df(t)}{dt}}+\omega t=0$

其自然響應為衰減指數函式

$f(x)=Ae^{(}-{\frac {t}{T}})$

對於串聯 RL，f(t) = i(t)

對於串聯 RC，f(t) = v(t)

串聯 LC，RLC

串聯 LC 和 RLC 的特徵方程是如下形式的二階微分方程：

${\frac {d^{2}f(t)}{dt}}+\omega t=0$

$f(x)=e^{(}\pm \omega t)$

$f(x)=e^{(}\omega t)+e^{(}-\omega t)=ASin\omega t$

在平衡狀態下，電路的自然響應是正弦波

$f(x)=ASin\omega t$

在平衡狀態下，諧振響應是駐波響應