電子學手冊/電路/RLC 串聯

RLC 串聯

電路分析

電路的阻抗

$Z=Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}$

$Z=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}$

$Z={\frac {1}{X_{C}}}(j\omega ^{2}+j\omega {\frac {R}{L}}+{\frac {1}{LC}})$

自然響應

$L{\frac {dI}{dt}}+IR+{\frac {1}{C}}\int Idt=0$

${\frac {dI}{dt}}+I{\frac {R}{L}}+{\frac {1}{LC}}=0$

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{LC}}=0$

$s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}=0$

$s=-\alpha$ ± ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}t$

$s=-\alpha \pm \lambda t$

$\alpha ={\frac {R}{2L}}$

$\beta ={\frac {1}{LC}}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}t$

• $\lambda =0.\alpha ^{2}=\beta ^{2}$ 。只有一個實根，

s = -αt

$({\frac {R}{2L}})^{2}$ = $({\frac {1}{LC}})^{2}$

$R={\sqrt {\frac {L}{C}}}$

$I=Ae^{(}-{\frac {t}{T}})$

• $\alpha ^{2}>\beta ^{2}$ ，有兩個實根，

$s=-\alpha$ ± ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

$({\frac {R}{2L}})^{2}$ = $({\frac {1}{LC}})^{2}$

$R>{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

$I=e^{-}\alpha t[e^{\lambda }t+e^{-}\lambda t]$

$I=ACos\lambda t$

$A={\frac {e^{-}\alpha t}{2}}$

• $\alpha ^{2}<\beta ^{2}$ ，有兩個復根，

$s=-\alpha$ ± ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

$({\frac {R}{2L}})^{2}$ = $({\frac {1}{LC}})^{2}$

$R>{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

$I=e^{-}\alpha t[e^{j}\lambda t+e^{-}j\lambda t]$

$I=ASin\lambda t$

$A={\frac {e^{-}\alpha t}{2}}$

電流隨時間的變化取決於R、L和C的值

$R={\sqrt {\frac {L}{C}}}$ 。電流以e的指數函式遞減

$R>{\sqrt {\frac {L}{C}}}$ 。電流下降到負值，然後上升到正值

$R={\sqrt {\frac {L}{C}}}$ 。電路具有隨時間衰減的正弦波電流

諧振響應

在諧振時，$Z_{L}-Z_{C}=0.V_{C}+V_{L}=0$

• $Z_{L}-Z_{C}=0$

$Z_{L}=Z_{C}$ .

$\omega L={\frac {1}{\omega C}}$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

分析電路在

$\omega =0.I=0$ 時。電容器開路。

$\omega =00.I=0$ 時。電感器開路。

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}.I={\frac {V}{R}}$ 時。$Z_{L}=Z_{R}.Z=Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}=Z_{R}=R$

在諧振時，串聯 RLC 電路能夠選擇一個頻率頻寬，在這個頻寬內電壓穩定，不會隨著頻率變化而變化。因此，它可以用作調諧 - 諧振帶通濾波器。

總結

• RLC 串聯的自然響應是電流的二階微分方程。

${\frac {d^{2}I}{dt}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{LC}}$

取決於電阻值，該方程具有

一個實根	兩個實根	兩個復根
一個實根 $R={\sqrt {\frac {L}{C}}}$ $I=e^{-}\alpha t$	兩個實根 $R>{\sqrt {\frac {L}{C}}}$ $I=e^{-}\alpha [e^{\lambda }t+e^{-}\lambda t]$ $I=ACos\lambda t$ $A={\frac {e^{-}\alpha t}{2}}$	$R<{\sqrt {\frac {L}{C}}}$ $I=e^{-}\alpha [e^{j}\lambda t+e^{-}j\lambda t]<br><math>I=ASin\lambda t$ $A={\frac {e^{-}\alpha t}{2}}$

• 在諧振時，當所有與頻率相關的元件抵消時，RLC 串聯表現得像調諧諧振選擇帶通濾波器。