電子學手冊/電路/RLC 串聯分析

考慮一個 RLC 串聯電路

1. 如果 L = 0 則電路簡化為 RC 串聯
2. 如果 C = 0 則電路簡化為 RL 串聯
3. 如果 R = 0 則電路簡化為 LC 串聯
4. 如果 R, L, C 不為零

RC 串聯

• 微分方程

$C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0$

${\frac {dV}{dt}}=-{\frac {1}{RC}}V$

${\frac {1}{V}}dV=-{\frac {1}{RC}}dt$

$\int {\frac {1}{V}}dV=-\int {\frac {1}{RC}}dt$

ln V = $-{\frac {1}{RC}}+C$

$V=e^{-}({\frac {1}{RC}})t+C$

$V=Ae^{-}({\frac {1}{RC}})t$ 其中 $A=e^{C}$

• 時間常數

t	V(t)	% Vo
0	A = eC = Vo	100%
${\frac {1}{RC}}$	.63 Vo	60% Vo
${\frac {2}{RC}}$	Vo
${\frac {3}{RC}}$	Vo
${\frac {4}{RC}}$	Vo
${\frac {5}{RC}}$	.01 Vo	10% Vo

• 電路阻抗

Z/_θ

$Z=Z_{R}+Z_{C}$

Z = R /_0 + ( 1 / ωC ) /_ - 90

Z = = |Z|/_θ = ${\sqrt {R^{2}+({\frac {1}{\omega C}})^{2}}}$ /_ Tan^-1 ${\frac {1}{\omega RC}}$

Z(jω)

$Z=Z_{R}+Z_{C}$

Z = $R+{\frac {1}{j\omega C}}={\frac {1+j\omega RC}{j\omega C}}$

$Z={\frac {1}{X_{C}}}(1+j\omega T$)

• 電壓和電流之間的角度差

電壓和電流之間存在角度差。電流比電壓超前一個角度θ

$Tan\theta ={\frac {1}{\omega RC}}={\frac {1}{f}}{\frac {1}{2\pi RC}}=t{\frac {1}{2\pi RC}}$

電壓和電流之間的角度差與R、C的值以及角頻率ω有關，ω也與f和t有關。因此，當改變R或C的值時，角度差將發生改變，ω、f、t也會發生改變

$\omega ={\frac {1}{RC}}{\frac {1}{Tan\theta }}$

$f={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{RC}}{\frac {1}{Tan\theta }}$

$t=2\pi RCTan\theta$

• 電路的一階方程

$L{\frac {dI}{dt}}+IR=0$

${\frac {dI}{dt}}=-I{\frac {R}{L}}$

$\int {\frac {1}{I}}dI=-\int {\frac {L}{R}}dt$

ln I = $(-{\frac {L}{R}}+c)$

I = $e^{(}-{\frac {L}{R}}+c)t$

I = $e^{c}e^{(}-{\frac {L}{R}}t)$

I = $Ae^{(}-{\frac {L}{R}}t)$

• RL時間常數

τ = ${\frac {L}{R}}$

I = A $e^{-}({\frac {L}{R}})t$

t	I(t)	% Io
0	A = eC = Io	100%
${\frac {1}{RC}}$	.63 Io	63% Io
${\frac {2}{RC}}$	Io
${\frac {3}{RC}}$	Io
${\frac {4}{RC}}$	Io
${\frac {5}{RC}}$	.01 Io	10% Io

• 電路阻抗

$Z=Z_{R}+Z_{L}$ = R/_0 + ω L/_90

Z = |Z|/_θ = ${\sqrt {R^{2}+(\omega L)^{2}}}$/_Tan^-1$\omega {\frac {L}{R}}$

Z(jω)

$Z=Z_{R}+Z_{L}=R+j\omega L$

$Z=R+j\omega L=R(1+j\omega {\frac {L}{R}})$

• 電壓和電流之間的相位差

在RL串聯電路中，只有L是依賴於頻率的元件。在R上，電壓和電流之間沒有相位差。電壓和電流之間存在90度的相位差。當R和L串聯連線時，電壓和電流之間存在0到90度的相位差，可以用以下數學公式表示

$Tan\theta =\omega {\frac {L}{R}}=2\pi f{\frac {L}{R}}=2\pi {\frac {1}{t}}{\frac {L}{R}}$

$\omega =Tan\theta {\frac {R}{L}}$

$f={\frac {1}{2\pi }}Tan\theta {\frac {R}{L}}$

$t=2\pi {\frac {1}{Tan\theta }}{\frac {L}{R}}$

• 總結

RL串聯電路具有電流的一階微分方程

該方程具有以下形式的一個實根

$I(t)=Ae^{\frac {t}{T}}$

$A=e^{c}$

${\frac {d}{dt}}f(t)+{\frac {1}{T}}=0$

該方程的解具有以下形式

$f(t)=Ae^{\frac {-t}{T}}$