電子學手冊/元件/LC 網路

LC 串聯

L 和 C 串聯的電路

電路分析

電路阻抗

$Z=Z_{C}+Z_{L}$

$Z={\frac {1}{j\omega C}}+j\omega L$

$Z={\frac {1}{j\omega C}}(j\omega ^{2}+{\frac {1}{T}})$

T = LC

電路自然響應

在平衡狀態下，電路的總電壓為零

$V_{L}+V_{C}=0$

$L{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int Idt=0$

${\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{LC}}\int Idt=0$

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}=0$

$s^{2}=-{\frac {1}{LC}}$

s = ± ${\sqrt {-{\frac {1}{LC}}}}$ = ± j ${\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

$I=e^{(}j{\sqrt {\frac {1}{LC}}}t)+e^{(}-j{\sqrt {\frac {1}{LC}}}t)$

$I=ASin{\sqrt {\frac {1}{LC}}}t$

$I=ASin\omega t$

在平衡狀態下，LC 串聯的自然響應是正弦波振盪

共振

當頻率分量相互抵消時，就會發生諧振。因此，在諧振時

$Z_{L}=Z_{C}$

$\omega L={\frac {1}{\omega C}}$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

$V_{C}=-V_{L}$

在諧振時，LC 串聯電路的響應為駐波振盪。

總結

• 電路的自然頻率響應為正弦波。
• 在諧振時，LC 串聯電路的頻率響應為駐波的振盪。

電路	LC 串聯
配置
阻抗	$Z={\frac {1}{j\omega C}}(j\omega ^{2}+{\frac {1}{T}})$
微分方程	$L{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int vdt=0$
一般微分方程	${\frac {d^{2}I}{dt}}+{\frac {1}{T}}=0$
自然響應	$I(t)=e^{(}j\omega t)+e^{(}-j\omega t)$ $I(t)=ASin\omega t$
T	$T=LC$
$\omega$	$\omega ={\sqrt {\frac {1}{T}}}$
A	$A={\frac {1}{2j}}$