電子學手冊/元件/RLC 網路

串聯 RLC

三個元件 R、L、C 串聯連線的電路

電路的微分方程

在平衡狀態下，電路的總電壓為零

$V_{L}+V_{C}+V_{R}=0$

$L{\frac {dI}{dt}}+IR+{\frac {1}{C}}\int Idt=0$

${\frac {dI}{dt}}+I{\frac {R}{L}}+{\frac {1}{LC}}=0$

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{LC}}=0$

$s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}=0$

$s=-\alpha$ ± ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

$s=-\alpha \pm \lambda$

其中

$\alpha ={\frac {R}{2L}}$ . $\beta ={\frac {1}{LC}}$

當

• $\alpha ^{2}=\beta ^{2}$ .

${\frac {R}{2L}}$ = ${\frac {1}{LC}}$

$R={\sqrt {\frac {L}{C}}}$

該方程只有一個實根。

s = -α = ${\frac {R}{2L}}$

$I=Ae^{(}-{\frac {R}{2L}})t$

• $\alpha ^{2}>\beta ^{2}$ ,

${\frac {R}{2L}}$ = ${\frac {1}{LC}}$

$R>{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

該方程有兩個實根。

$s=-\alpha \pm \lambda$

$I(t)=e^{(}-\alpha \pm \lambda )t$

$I(t)=e^{(}-\alpha t)(e^{\lambda }t+e^{-}\lambda t)$

$I(t)={\frac {e^{(}-\alpha t)}{2}}Cos\lambda t$

• $\alpha ^{2}=\beta ^{2}$ .

$R<{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

該方程有兩個復根。

$s=-\alpha$ + $j\lambda$

$I(t)=e^{(}-\alpha t)(e^{j}\lambda t+e^{-}j\lambda t)$

$I(t)={\frac {e^{(}-\alpha t)}{2j}}Sin\lambda t$

諧振

當頻率分量相互抵消時發生諧振。因此，在諧振時

$Z=Z_{R}+Z_{C}+Z_{L}=Z_{R}+0=R$

$I={\frac {V}{R}}$

$Z_{L}=Z_{C}$ . $\omega L={\frac {1}{\omega C}}$ . $\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

• 在 $\omega =0I=0$
• 在 $\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$ . $I={\frac {V}{R}}$
• 在 $\omega =00I=0$

阻抗

$Z=Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}$

$Z=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}$

$Z={\frac {1}{j\omega C}}(j\omega ^{2}+\alpha j\omega +\beta )$

$\alpha ={\frac {R}{L}}$

$\beta ={\frac {1}{Lc}}$

總結

• 諧振響應為調諧諧振帶通濾波器型別
• 自然響應為幅度遞減的波形

$R={\sqrt {\frac {L}{C}}}$ . 一個實根 . $I(t)=e^{(}-{\frac {R}{2L}})t$

$R={\sqrt {\frac {L}{C}}}$ . 兩個實根 . $I(t)=e^{(}-{\frac {R}{2L}})t[e^{(}\lambda t)+e^{(}-\lambda t)]$

$R={\sqrt {\frac {L}{C}}}$ 。兩個復根 。 $I(t)=e^{(}-{\frac {R}{2L}})t[e^{(}j\lambda t)+e^{(}-j\lambda t)]$

電路	串聯 RLC
配置
阻抗	$Z={\frac {1}{j\omega C}}(j\omega ^{2}+j\omega {\frac {R}{L}}+{\frac {1}{LC}})$
微分方程	$L{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int Vdt+IR=0$
一般微分方程	${\frac {d^{2}I}{dt}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{LC}}=0$
自然方程	$I(t)=A(e^{\lambda }t+e^{-}\lambda t)$
$\lambda$	$\lambda ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$ 。 $\lambda =0.\alpha ^{2}=\beta ^{2}.({\frac {R}{2L}})^{2}=({\frac {1}{LC}})^{2}$ $I=e^{-}\alpha t=e^{(}-{\frac {R}{2L}})t$ 。 $\lambda ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}>0.\alpha ^{2}>\beta ^{2}.({\frac {R}{2L}})^{2}>({\frac {1}{LC}})^{2}$ $I=A(e^{\lambda }t+e^{-}\lambda t)$ 。 $\lambda ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}<0.\alpha ^{2}<\beta ^{2}.({\frac {R}{2L}})^{2}({\frac {1}{LC}})^{2}$ $I=A(e^{j}\lambda t+e^{-}j\lambda t)$
A	$A=e^{(}-\alpha t)$
$\alpha$	$\alpha ={\frac {R}{2L}}$
$\beta$	$\beta ={\frac {1}{LC}}$