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正弦波振盪器

考慮一個由 L 和 C 串聯組成的電路

$L{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{C}}Idt=0$

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+{\frac {L}{C}}=0$

$S^{2}+{\frac {1}{LC}}=0$

$S=\pm j{\sqrt {\frac {1}{LC}}}t=\pm \omega t$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

$I=e^{(}St)=e^{(}j\omega t)+e^{(}-j\omega t)$

$I=ASin\omega t$

駐波振盪器

串聯 L 和 C 電路在兩個元件的阻抗抵消時處於共振狀態

$Z_{L}-Z_{C}=0$

$\omega L={\frac {1}{\omega C}}$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

$V_{L}+Z_{C}=0$

$Z_{C}=-V_{L}$

電路有能力產生以以下頻率振盪的駐波

指數衰減正弦波振盪器

考慮一個由 RLC 串聯組成的電路

$L{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{C}}Idt+IR=0$

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dI}{dt}}+{\frac {1}{LC}}=0$

$S^{2}+{\frac {R}{L}}S+{\frac {1}{LC}}=0$

$S=(-\alpha \pm \lambda )t$

$i=e^{(}-\alpha \pm \lambda )t$

$\alpha =-{\frac {R}{2L}}$

$\beta ={\frac {1}{LC}}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

當 $\lambda <0$

$\alpha ^{2}<\beta ^{2}$

$i=e^{(}-\alpha \pm j\lambda )t$

$i=e^{(}-\alpha t)[e^{(}j\lambda t)+e^{(}-j\lambda t)]$

$i=e^{(}-\alpha t)Sin\lambda t$

該電路能夠產生指數衰減幅度的正弦波。

總結

1. 無損 LC 串聯電路在平衡狀態下能夠產生正弦波。
2. 無損 LC 串聯電路在諧振狀態下能夠產生駐波正弦波。
3. 有損 RLC 串聯電路在平衡狀態下能夠產生指數衰減正弦波。