工程聲學/聲波方程

為了推匯出波方程，將三個關係式結合起來：狀態方程、理想氣體定律；連續性方程、質量守恆；牛頓定律、動量守恆。從聲速可以推匯出聲壓與體積模量之間的關係，

$c_{o}^{2}={\frac {\partial P}{\partial \rho }}={\frac {p'}{\varrho '}}={\frac {p'}{\rho -\rho _{o}}}.$

使用凝聚度的定義，流體密度相對變化，用 $s$ 表示，

${\frac {p'}{\rho _{o}}}=c_{o}^{2}{\Big (}{\frac {\rho -\rho _{o}}{\rho _{o}}}{\Big )}=c_{o}^{2}s,$

並引入體積模量，它隱式地利用了理想氣體定律，

$p'=\rho _{o}c_{o}^{2}s=\gamma P_{o}s=B_{o}s.$

連續性方程的一般形式，從流體動力學的控制體積得到，簡化為笛卡爾座標系中的一維形式。

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}(\rho {\vec {U}})=0$

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{o}{\frac {\partial U}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial U}{\partial x}}={\frac {-1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {-1}{\rho _{o}c_{o}^{2}}}{\frac {\partial P}{\partial t}}$

利用牛頓定律作用於流體元素，作用於流體邊界上的淨力導致流體加速，與流體質量成正比，

$A(P(x)-P(x+dx))=(Adx\rho _{o}){\frac {dU}{dt}}.$

注意到

${\frac {P(x)-P(x+dx)}{dx}}={\frac {\partial P}{\partial x}}$

當 $dx$ 趨近於零時，計算導數，並忽略小項，

${\frac {\partial P}{\partial x}}dx=(\rho _{o}dx){\frac {dU}{dt}}=(\rho _{o}dx){\Big (}{\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial U}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}{\Big )}$

${\frac {\partial U}{\partial t}}={\frac {-1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial P}{\partial x}}.$

為了得到波動方程，對連續性方程進行關於時間的偏導數，對動量守恆方程進行關於空間的偏導數。透過將這兩個結果等同並消除兩邊的密度項，

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial t\partial x}}={\frac {-1}{\rho _{o}c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}={\frac {-1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}$

可以得到聲波方程。

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}=0.$

以上方程是一維形式的聲波方程。它可以推廣到三維笛卡爾座標系。

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}P}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}P}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}=0.$