工程聲學/笛卡爾座標系中的聲波解

一維聲波方程由以下二階偏微分方程描述。

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{C_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}$

它可以用變數分離法，也稱為傅立葉方法求解。假設壓強是僅依賴於空間的一個函式與僅依賴於時間的另一個函式的乘積。

$P(x,t)=X(x)T(t)$

代回波方程

$X''T={\frac {1}{C_{o}^{2}}}XT''$

${\frac {X''}{X}}={\frac {1}{C_{o}^{2}}}{\frac {T''}{T}}=-\lambda ^{2}$

該替換導致兩個齊次的二階常微分方程，一個關於時間，一個關於空間。

$T''+C_{o}^{2}\lambda ^{2}T=0$

$X''+\lambda ^{2}X=0$

時間函式預計將取決於波的角頻率。

$T=Ce^{j\omega t}$

代入並解出常數，該常數定義為波數 K。

$-\omega ^{2}+C_{o}^{2}\lambda ^{2}=0$

$K^{2}=\lambda ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{C_{o}^{2}}}$

波數是一個重要的量，它將波的角速度與其在介質中的傳播速度聯絡起來。它可以用不同的形式表達。

$K={\frac {\omega }{C_{o}}}={\frac {2\pi f}{C_{o}}}={\frac {2\pi }{\lambda }}$

其中 $f$ 是以赫茲為單位的頻率，$\lambda$ 是波長。

可以使用波數求解第二個微分方程。空間函式給出一個一般形式。

$X=Ce^{jrx}$

代入並求解$r$.

$-r^{2}+K^{2}=0$

$r=\pm K$

得到了一維聲波方程的解。

$P(x,t)=(C_{1}e^{jKx}+C_{2}e^{-jKx})e^{j\omega t}$

該解的實部和虛部也是一維波方程的解。

$P(x,t)=C_{1}cos(\omega t+Kx)+C_{2}cos(\omega t-Kx)$

$P(x,t)=C_{1}sin(\omega t+Kx)+C_{2}sin(\omega t-Kx)$

使用相量表示法，該解可以寫成更簡潔的形式。

$\mathbf {P(x,t)} =\mathbf {P} e^{j(\omega t\pm Kx)}$

透過取上述複數形式的實部可以得到實際的解。上述常數的值可以透過應用初始條件和邊界條件來確定。一般來說，以下形式的任何函式都是週期波的解。

$P(x,t)=f_{1}(\omega t+Kx)+f_{2}(\omega t-Kx)$

類似地，對於行波，

$P(x,t)=f(ct+x)+g(ct-x)$

$P(x,t)=f(\xi )+g(\eta )$

其中$f$和$g$是任意函式，代表兩個沿相反方向傳播的波。這些被稱為達朗貝爾解。這兩個函式的形式可以透過應用初始條件和邊界條件來找到。