工程聲學/單簧管聲學

單簧管是木管樂器家族中的一種，廣泛用於管絃樂隊或爵士樂隊。單簧管有不同型別，尺寸和音調也不同：降B調、降E調、低音、倍低音等等。單簧管通常提供約3 kPa的聲壓氣流，或一個大氣壓的3%。

單簧管由幾個聲學元件組成

• 吹嘴-簧片系統：像一個能量源，它產生氣流和壓力的振盪成分，充入樂器。
• 圓柱形管身：一個共鳴體，形成氣柱併產生駐波。
• 喇叭口（在圓柱形管身的開口端）和開音孔：充當輻射器。

從能量的角度來看，演奏者注入的大部分能量用於補償圓柱形管身內部壁的熱和粘性損耗，而只有一小部分能量透過喇叭口和開孔輻射出去，被聽眾聽到。

吹嘴-簧片系統

簧片充當彈簧狀振盪器。它將穩定的輸入氣流（直流）轉換為聲學振動氣流（交流）。然而，它不僅僅是一個單向轉換器，因為它還與樂器中氣柱的共鳴相互作用，即

• 最初，增加吹氣壓力會導致更多空氣流入單簧管管身。
• 但吹氣壓力與吹嘴壓力之間的差異過大，會導致簧片與吹嘴之間的開口關閉，最終導致零氣流。

這種行為在圖2中大致描述

圖2：吹嘴-簧片系統圖

集中簧片模型由以下公式描述：

$m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mu {\frac {dy}{dt}}+k(\Delta p)y=\Delta p,$

其中$y$是簧片位移，$m$是質量，$\mu$是阻尼係數，$k$是剛度，被視為$\Delta p$的函式。

讓我們更詳細地瞭解一下輸入氣流、演奏者嘴裡的氣壓以及吹嘴室裡的氣壓之間的關係。

圖3：輸入氣流與壓差 ($\Delta p=p_{mouth}-p_{chamber}$)

圖3大致分為兩個部分。左側顯示了類似電阻的特徵，即氣流隨著嘴壓與吹嘴壓差的增加而增加。右側顯示了負電阻，即氣流隨著壓差的增加而減少。交流振盪僅發生在右側，因此演奏者必須以落在一定範圍內的嘴壓演奏。具體來說，壓差必須大於對應於右側開始的最小壓力，但不能超過關閉簧片的最大壓力。

流速 $U$與簧片通道上的壓差 $\Delta p$之間的關係由伯努利方程描述

$U=hw{\sqrt {\frac {2|\Delta p|}{\rho }}}sgn(\Delta p),$

其中 $h$ 是簧片開口，$w$ 是通道的寬度，$\rho$ 是流體密度。簧片開口 $h$ 與壓差 $\Delta p$ 有關。大約，增加 $\Delta p$ 會導致減少 $h$ 直到吹嘴通道閉合，沒有氣流填入。

吹嘴-簧片系統的非線性行為很複雜，超出了線性聲學的範圍。麥吉爾大學的安德烈·達·席爾瓦 (2008) 使用二維格子玻爾茲曼模型模擬了單簧片吹嘴的完全耦合流體-結構相互作用，在他的 博士論文 中可視化了不同時刻的速度場。

圓柱形孔

如果所有音孔都關閉，單簧管的主孔近似為圓柱形，吹嘴端可以看作封閉端。因此，主孔的主要聲學行為類似於圓柱形閉口-開口管（一端封閉，一端開口的管子）。另外，為了進一步簡化問題，這裡假設管壁是剛性的，完美光滑的，並且是熱絕緣的。

孔內的聲傳播可以表示為許多正常模的總和。這些模式是由圓柱座標系中所有三個軸上的波運動產生的，即沿橫向同心圓的波運動，沿橫向徑向平面的波運動以及沿管道主軸的平面波運動。但是，由於橫向模式在真實樂器中只被微弱地激發，因此我們在這裡不討論它們，而只關注縱向平面波。

基頻

主孔限制的空氣柱的自然振動由一系列駐波支撐。即使沒有任何數學分析，透過檢查邊界條件，我們也能直觀地瞭解這些駐波的一些重要物理特徵。在開口端必須存在壓力節點，因為開口端附近的總壓力幾乎與環境壓力相同，這意味著開口端沒有聲壓。然後，當我們觀察封閉端（實際上，連線吹嘴室的端部並非完全封閉，總是有一個開口讓空氣填入，但為了簡化分析，我們“假裝”端部完全封閉）時，由於氣流的體積速度幾乎為零，因此壓力達到最大值。然後，可以從波長最長的波中找到這些駐波的最低頻率，該波長是樂器孔長度的四倍。為什麼？因為如果我們將該正弦波的四分之一圓畫出來，並將其放入閉口-開口管中，則峰值振幅位於封閉端，而零振幅位於開口端，這是閉口-開口管內壓力駐波的完美表示。圖 4 描繪了理想閉口-開口圓柱形管中最低音調（第一諧振頻率）對應的壓力波和速度波。

圖 4：無損耗圓柱形閉口-開口管中 f0 的壓力和速度分佈

圖 5 是長度為 148 釐米的閉口-開口管的第 1、第 3 和第 5 諧振頻率的歸一化壓力和速度分佈。為了簡化問題，開口端的反射率簡化為 -1，並且沒有考慮粘性損失。

圖 5：無損耗圓柱形閉口-開口管中 f1、f3 和 f5 的壓力和速度分佈

諧波系列

在主孔中，其他更高頻率的駐波也是可能的，但它們的頻率必須是基頻的奇次諧波，因為存在閉口-開口限制。這也是塑造單簧管獨特音色的一個重要因素。具體來說，長度為 L 的閉口-開口管的諧振頻率系列由以下公式給出：

$f_{n}={\frac {(2n-1)c}{4L}}$，其中 $n=1,2,...$

例如，對於長度為 14.8 釐米的孔，前 5 個諧波分別為：0.581、1.7432、2.9054、4.0676、5.2297 千赫。該計算基於理想的圓柱形管。然而，對於真正的單簧管，諧振頻率不僅由孔的長度決定，還由孔的形狀（不是完美的圓柱體）以及音孔的指法決定。此外，由於開口端輻射阻抗引起的 端部校正 效應，未法蘭開口管的有效長度為 $L_{eff}=L+0.6a$，. 因此基頻和諧波系列都會降低一點。

音孔

單簧管音孔的作用可以從兩個方面來看。

首先，開放的音孔改變了主管的有效長度，從而改變了封閉氣柱的共振頻率。單簧管產生的每個離散音符都由特定的指法決定，即開放和封閉音孔的特定組合。透過使用先進的演奏技巧，演奏者可以演奏音高彎曲（從一個音符到下一個音符的音高連續變化）。這些技巧包括部分遮蓋音孔（對於從 G3/175 Hz 到 G4/349 Hz 及 D5/523 Hz 以上音符的有限音高彎曲）以及使用聲道（對於 D5/523 Hz 以上的顯著音高彎曲）。 格什溫的《藍色狂想曲》 開頭幾小節展示了一個著名的例子，即在一個高達 2.5 個八度的音域內進行大幅度音高彎曲。

其次，聲音從開放的音孔和喇叭口發出，這使得單簧管（以及其他木管樂器）與另一類管樂器，即銅管樂器，具有不同的指向性模式，銅管樂器具有類似的開放喇叭口，但沒有側孔。

我們將在後面看到如何計算音孔改變後的聲阻抗。

喇叭

單簧管的喇叭口擴散不如銅管樂器重要，因為開放的音孔除了喇叭口外，還為聲音輻射提供了貢獻。喇叭的主要作用是形成從管內到周圍空氣的平滑阻抗過渡。 即使沒有喇叭，單簧管在大多數音符上仍然可以正常演奏。

音區孔

音區孔的主要目的是破壞基頻，但儘可能保持高次諧波，這樣音符的頻率就會因開啟音區孔而增加三倍。

管內波的傳播

波動方程

單簧管主管內的聲波傳播由一維波動方程描述

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}P(x,t)}{\partial x^{2}}},$

其中 $x$ 是沿傳播方向的軸線。

聲壓波 $P(y,t)$ 的複數解為

$P(x,t)=(Ae^{-jkx}+Be^{jkx})e^{j\omega t},$

其中 $k=\omega /c$ 是波數，$\omega =2\pi f$，A 和 B 分別是左、右行傳播壓力波的複數振幅。

另一個有趣的物理引數是體積速度 $U(x,t)$，定義為粒子速度 $V(x,t)$ 乘以橫截面積 $s$。體積速度 $U(x,t)$ 的複數解由下式給出

$U(x,t)={\frac {s}{\rho c}}(Ae^{-jkx}-Be^{jkx})e^{j\omega t},$

聲阻抗

圖 6：理想無損圓柱形管道的輸入阻抗

聲學輸入阻抗$Z_{in}(j\omega )$ 在頻域中提供了關於單簧管聲學特性的非常有用的資訊。音調和響應可以從輸入阻抗推斷出來，例如，更尖銳和更強的峰值表示更容易演奏的頻率。

輸入阻抗（在頻域中）定義為管道輸入端（x=0）的壓力與體積流量之比：

$Z_{in}(j\omega )={\frac {P(j\omega )|_{x=0}}{U(j\omega )|_{x=0}}}=Z_{c}{\frac {Z_{L}cos(kL)+jZ_{c}sin(kL)}{jZ_{L}sin(kL)+Z_{c}cos(kL)}},$

其中$Z_{L}$ 是單簧管管口處的負載阻抗，而$Z_{c}=\rho c/s$ 是特徵阻抗。

在這一點上，如果我們想快速瞭解單簧管管口的輸入阻抗，我們可以忽略輻射損耗，並假設主管口末端沒有負載阻抗，以簡化問題。我們也可以忽略由於壁損耗引起的吸聲。透過這些簡化，我們可以使用 Matlab 計算長度為 $L=0.148$ 米，半徑為 $r=0.00775$ 米的圓柱形管道的理論輸入阻抗，如圖 6 所示。

輻射阻抗

圖 7a：開放端管道的反射幅度和長度修正

圖 7b：開放端管道的輻射阻抗歸一化幅度

圓柱形管口處的負載阻抗由輻射阻抗$Z_{r}$ 表示。我們之前在討論理想圓柱形管道的輸入阻抗時假設了$Z_{r}=0$。雖然它很小，但真實單簧管的輻射阻抗顯然不為零。不僅主管口末端有輻射阻抗，每個開放的音孔也都有其自身的輻射阻抗。

直接測量輻射阻抗並不容易。但是，我們可以從管子的輸入阻抗$Z_{in}$來獲取： $Z_{r}=jZ_{c}tan[atan(Z_{in}/jZ_{c})-kL]$，其中$L$是管子的長度，$a$是半徑。

或者，我們也可以從開口端的反射係數$R$來計算輻射阻抗，關係式為

$Z_{r}={\frac {\rho c}{S}}{\frac {1+R}{1-R}}$

其中$\rho$是空氣密度，$c$是聲速，$S$是管子的橫截面積。

Levine 和 Schwinger 給出了具有有限壁厚的管子的$R$的理論值，其中$R$由其模量$|R|$和長度修正$l(\omega )$計算為$R=-|R|e^{-2jkl}$。Levine 和 Schwinger 提出的原始方程相當複雜。為了簡化，如 圖 7a 所示，$R$ 和長度修正 可以用 Norris 和 Sheng (1989) 給出的有理方程近似。 圖 7b 中給出了輻射阻抗。

$|R|={\frac {1+0.2ka-0.084(ka)^{2}}{1+0.2ka+0.416(ka)^{2}}}$ $l/a={\frac {0.6133+0.027(ka)^{2}}{1+0.19(ka)^{2}}}$

傳輸矩陣

管段

由於聲阻抗對於單簧管的音質和特性至關重要，因此我們想知道沿主管身的任何位置的聲阻抗。這個問題可以透過傳輸矩陣法解決。我們將看到，透過引入額外的串聯和並聯阻抗，音孔的影響也可以納入樂器的聲阻抗網路。

整個管身可以看作是一系列級聯的圓柱形截面，每個截面都有一個輸入端和一個輸出端，如下圖所示

圖 8：一個管身截面

輸入端的壓力和體積速度與輸出端的壓力和體積速度透過相應的傳輸矩陣相關聯

${\begin{bmatrix}P_{1}\\U_{1}\end{bmatrix}}$=${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}P_{2}\\U_{2}\end{bmatrix}}$ 其中 ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$=${\begin{bmatrix}cos(kL)&jZ_{c}sin(kL)\\{\frac {j}{Z_{c}}}sin(kL)&cos(kL)\end{bmatrix}}$

因此，$Z_{1}$ 與 $Z_{2}$ 的關係為：$Z_{1}={\frac {b+aZ_{2}}{d+cZ_{2}}}$。給定圓柱形管子的輸入阻抗或負載阻抗，我們可以計算沿著傳播軸的管子任何位置的聲阻抗。

音孔部分

現在我們來處理音孔。開孔或閉孔音孔的影響可以用並聯和串聯阻抗網路表示，如下圖 9 所示。

圖 9：音孔的並聯和串聯阻抗

圖 10：將音孔網路與管身網路結合起來

音孔的並聯阻抗 $Z_{s}$ 和串聯阻抗 $Z_{a}$，半徑為 $b$ 的音孔在一個半徑為 $a$ 的主管身中，由下式給出：

$Z_{sc}=(\rho c/\pi a^{2})(a/b)^{2}(-jcotkt),$ $Z_{so}=(\rho c/\pi a^{2})(a/b)^{2}(jkt_{e}),$ $Z_{a}=(\rho c/\pi a^{2})(a/b)^{2}(-jkt_{a}),$

其中 $Z_{sc}$ 是閉合音孔的並聯阻抗，$Z_{so}$ 是開孔音孔的並聯阻抗，$Z_{a}$ 是閉合或開孔音孔的串聯阻抗，$t_{e}$ 和 $t_{a}$ 與幾何煙囪高度有關。

如圖 10 所示，音孔網路可以作為一個零長度部分插入到管身部分，其中 $Z_{r}$ 和 $Z_{rt}$ 分別是管身和開孔音孔的輻射阻抗。在低頻近似情況下，音孔可以被看作是一個短圓柱形管身，其輻射阻抗可以用類似的方式計算。組合 $Z_{in}=P_{in}/U_{in}$ 的輸入聲學阻抗可以從整個網路中計算出來。

壁損失

在之前的討論中，我們假設了一個完美的剛性、光滑且熱絕緣的壁。當然，在實際情況下，單簧管的管身並非那麼理想，因此必須考慮由於粘性阻力和熱交換造成的損失。熱粘性損失的全部物理細節很複雜且繁瑣，超出了本文的範圍。幸運的是，如果我們只關心最終的影響，我們就不必進行那麼詳細的分析，即只需簡單地用其複數兄弟替換波數 ($k=\omega /c$) 的傳輸矩陣係數，Bingo！我們新的傳輸矩陣會自動考慮壁損失的影響。波數的複數形式如下：

$K=\omega /\nu -j\alpha .$

這裡我們注意到兩個有趣的差異。首先，聲速$c$ 被替換為“相速度” $\nu$，它不是一個常數，而是頻率和管道幾何半徑的函式。其次，有一個虛數項 $j\alpha$，其中 $\alpha$ 是每單位路徑長度的衰減係數，它也是頻率和管道幾何半徑的函式。相速度和衰減係數都受環境引數的影響，如溫度、空氣粘度、空氣比熱和熱導率。

相速度和衰減係數與頻率相關的事實表明，不僅聲阻抗的幅值，而且其相位也受到壁面損耗的影響。換句話說，壁面損耗不僅影響樂器的響度，也影響其音調。這意味著，當我們設計單簧管時，如果我們基於具有完美剛性和光滑壁面的理想圓柱形管道的假設來計算輸入阻抗，那麼這種樂器的音調將有問題！使用與材料物理特性相關的復波數將改進我們的設計，至少會縮短理論預測和實際結果之間的差距。

復波數也受環境引數影響的事實表明，木管樂器的音調可能會因環境因素而改變，例如房間溫度。

比較由於熱粘性損耗引起的耗散功率與單簧管管體上的輻射功率將是一件有趣的事情。從 0 Hz 到 2000 Hz 的範圍內，使用 Matlab 進行模擬，其中管道的長度為 0.148 m，半徑為 0.00775 m，空氣的特性是在 20 攝氏度的溫度下選擇的。我們發現，除了共振頻率附近的小區域外，耗散功率遠大於輻射功率。

圖 10：耗散功率與輻射功率

其他有用連結

• 新南威爾士大學單簧管聲學：關於單簧管聲學和一般音樂聲學幾乎所有內容。這個優秀的線上知識庫由新南威爾士大學維護。
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