隨著新技術和複雜技術的飛速發展，顯而易見的是，房間聲學的學習如果不分析電聲裝置的影響，將是不完整的。無論是加拿大總理向議員發表講話，還是大學教授在大型禮堂進行講座，還是大型科技公司的執行長舉行新聞釋出會公佈其公司的技術，還是數千名重金屬樂迷聚集觀看 Metallica 的現場演出，揚聲器和麥克風經常被用作語音放大的手段。這本工程聲學華夏公益教科書的補充將旨在幫助讀者在任何房間中策略性地放置電聲裝置。它也將作為之前華夏公益教科書條目“房間聲學和音樂廳”的延伸。

揚聲器指向性

雖然常見的音響放大裝置包括麥克風、放大器和揚聲器，但揚聲器可能是該裝置中最關鍵的部件。揚聲器必須經過設計，才能承受高功率，同時不會對輻射的聲波產生任何失真。[Kuttruff]

首先，我們關注揚聲器輻射特性的描述。

當活塞運動導致高頻聲波開始傳播時，活塞的半徑不再能被認為相對於輻射聲波的波長很小。因此，輻射的波運動和活塞運動之間會發生顯著的相位差。這會導致兩種元素之間發生不同程度的干涉，可能導致所有聲音完全抵消。因此，定義指向性函式如下：

$\delta (\theta )={\frac {2J_{1}(kasin(\theta ))}{kasin(\theta )}}$

J1 is the first order Bessel Function
θ is the angle of radiation
k is the wave number, which is the ratio of angular frequency to the speed of sound 
a is the radius of the piston
ka is referred to as the Helmholtz number

將亥姆霍茲數降至最低，因為這會導致均勻的聲音指向性。較大的亥姆霍茲數會導致非常指向性的聲音輻射，如下圖所示。

接下來，讓我們考慮喇叭揚聲器，它提供了更實用的揚聲器模型。喇叭模型的主要優點是，它提供的指向性比活塞揚聲器提供的窄範圍更廣。通常希望將多個喇叭揚聲器組合起來。喇叭揚聲器提高了輻射阻抗。由於喇叭揚聲器的指向特性取決於開口的大小和形狀，以及整個喇叭的形狀，因此指向性的表示式變得很複雜。

房間中通常會發現多個揚聲器。每個揚聲器都可以被建模為一個點聲源。可以類似地為一個單活塞揚聲器定義一個指向性函式。

$\delta _{a}(\theta )={\frac {sin(0.5*Nkdsin(\theta ))}{Nsin(0.5kdsin(\theta ))}}$

這裡，輻射角沿包含 N 個點聲源的陣列的正常方向取，這些聲源沿一條直線等距排列，相隔 d。

聲反饋

如果電聲裝置的揚聲器和麥克風都在同一個房間，麥克風會拾取來自揚聲器的聲波，以及來自原始聲源的聲波。這種現象會導致一種稱為聲反饋的現象 [1]。這種現象通常會導致整個電聲裝置出現故障，並且可能會聽到響亮的嘯叫或嘶嘶聲。如前所述，揚聲器定位在最大程度地減少聲反饋方面起著至關重要的作用。為了有效地分析聲反饋對房間的影響，明智的做法是使用框圖來表示聲波從聲源（如揚聲器）傳播的現象。

${\frac {Y(\omega )}{S(\omega )}}=O(\omega )={\frac {KG'(\omega )}{1-G(\omega )K(\omega )}}$

 $Y(\omega )$  is the complex amplitude spectrum of the signal at the listener's seat
 $S(\omega )$  is the sound input (into a microphone)
 $K$  is the amplifier gain
 $G'(\omega )$  is a complex transfer function representing the path by which the sound will reach the listener 
 $G(\omega )$  is the transmission function representing the path taken by sound radiating from the loudspeaker back into the microphone

右邊的閉環傳遞函式顯示了原始源訊號如何連續透過迴圈，最終回到麥克風，從而導致聲反饋。復傳遞函式分母中的項， $KG(\omega )$ ，表示系統的開環增益。此量的幅值對輸出到聽眾的訊號幅值有很大影響， $Y(\omega )$ 。此輸出變量表示實際向聽眾傳播的聲波，而其餘聲波進入反饋迴圈，在那裡它們會回到麥克風。

聲音在房間中傳播的開環框圖。此圖透過忽略任何聲反饋的存在，使實際閉環系統理想化。

透過觀察由 $O(\omega )$ 定義的閉環傳遞函式，可以發現，使分母為零的函式極點是需要關注的。如果開環增益的值等於1，整個系統將變得不穩定。如果開環增益等於1，閉環傳遞函式將趨於無窮大，產生大規模的不穩定。類似地，如果開環增益小於1，隨著 $KG(\omega )$ 的值趨於1，閉環傳遞函式的值將越來越大。在開環傳遞函式的這些大值下，聽眾聽到的聲音將會失真。當在聲源處施加脈衝訊號時，這種效果可以得到更好的解釋，在這種情況下，當聲波到達聽眾時，會聽到振鈴效應。最重要的是讓系統在適當的放大器增益值範圍內執行。透過實驗（參見參考文獻 1），放大器增益必須以滿足以下等式的方式設定

$20log({\frac {K}{K_{o}}})<-12dB$ ，其中 K_o 是使 $O(\omega )$ 無限增長的臨界放大器增益值。

當然，將放大器增益降低到無限小的值並不符合人們的最佳利益。這隻會使放大器變得無用，並且輻射的聲音訊號會很弱。減少聲學反饋影響的更明智的策略是嘗試減小 G(ω)，同時增加 G'(ω)。雖然這可能被證明是困難的，但精心選擇揚聲器指向性，使主瓣指向聽眾，而麥克風遠離主瓣，處於弱輻射位置，將大大減少不希望的反饋效應。像心形麥克風這樣的單向麥克風通常被使用，因為它們可以有效地拒絕來自除聲源（即揚聲器）以外的其他方向傳播的聲音。閉環反饋系統的穩定性也可以透過根軌跡圖或使用勞斯-赫維茨判據等工具進行分析。在傳統的控制理論中，通常使用超前或滯後補償器來提高系統的穩定性 [2].

揚聲器定位

在決定房間中每個揚聲器的合適位置時，有必要考慮某些因素。如前一節所示，揚聲器指向性可以根據揚聲器的數量以及它們是否線性排列在一組中進行調整。無論如何，揚聲器應以這樣一種方式放置，即為房間中的所有聽眾提供均勻的聲音能量。此外，有必要建立足夠的語音清晰度，這是根據語音清晰度指數 [3]測量的。

揚聲器的位置必須選擇以使觀眾接收到的直接聲音儘可能均勻。實現這一點的一種方法是將揚聲器安裝在比聲源（即麥克風）更高的位置，這也限制了反饋。這也確保了直接聲音也將以水平方向相對均勻的指向性到達聽眾。通常，人耳對垂直方向上的聲音變化不敏感，因此使揚聲器升高是明智的選擇。

人們還感興趣的是推匯出一個稱為混響半徑 R_o 的量。考慮從揚聲器發出的強度為 I_o 的聲音。然後，該強度透過閉環系統，到達麥克風輸入端。然後它被增益 A 放大到 AI_o 的值，因為它透過放大器並回到聲源。然後，揚聲器附近的強度將根據距揚聲器的徑向距離 R，按照 1/R² 的關係衰減。強度將衰減，直到到達 R_O 的距離。然後，混響半徑被定義為

$R_{O}=0.057sqrt{\frac {V}{T}}$ ，其中

V is the volume of the room in m³
T is the reverberation time in seconds

使用直接反饋改善房間混響的揚聲器定位

由於現代圓形劇場和體育場是多功能場所，因此控制房間的混響時間以適應特定活動非常重要。例如，魁北克蒙特利爾的貝爾中心是蒙特利爾加拿大人冰球隊的主場，同時每年還舉辦大量的現場音樂會和表演。這些多功能場館的混響時間可以透過使用旋轉或可移動的牆壁或天花板，甚至厚重的窗簾來改變。這些可移動物品可以在改變房間的吸收和反射特性方面發揮作用。但是，實施這些裝置可能被證明非常昂貴。因此，人們應該將注意力轉向揚聲器的戰略性放置，以增加房間的混響時間。Guelke 和 Broadhurst 在 1971 年的一篇論文中討論了一種流行的方法。

為了透過直接反饋增加房間的混響時間，應該注意房間中的總聲音強度是聲源的強度以及每個房間模式的壓力貢獻之和。這兩種貢獻將根據關係指數衰減

$I_{\mathrm {Tot} }=I_{\mathrm {Room} }e^{\mathrm {-kt} }+I_{\mathrm {sys} }e^{\mathrm {-Lt} }$

 $I_{\mathrm {Tot} }$  is the total sound intensity radiated in the room
 $I_{\mathrm {sys} }$  is the sound intensity prom the acoustical system comprising of a microphone, amplifier and loudspeaker
 $I_{\mathrm {Room} }$  is the sound intensity due to the pressure modes of the room
k is the room damping coefficient
L is the system damping coefficient
 $T_{\mathrm {60} }$  is the reverberation time or more specifically, 
the time it takes for the energy density or sound pressure level in the room to decay by 60 dB, once the source is abruptly shut off.

此外，系統的阻尼係數和系統聲音強度可以分別透過常數 n 和 m 與房間的阻尼係數和輻射聲音強度相關聯，使得

$L=nK$

$I_{\mathrm {sys} }=mI_{\mathrm {Room} }$

在時間 t=0 的初始條件下，房間內的總聲音強度為

$I_{\mathrm {Tot} }=I_{\mathrm {room} }+mI_{\mathrm {room} }$

接下來，混響時間定義為聲音強度降至其原始值的 10⁻⁶ 的點。因此，上面的方程變為

$10^{\mathrm {-6} }(1+m)=e^{\mathrm {-kt} }+me^{\mathrm {-nkt} }$

求解混響時間 $T_{\mathrm {60} }$ ，得到

$T_{\mathrm {60} }={\frac {-1}{nk}}log_{e}({\frac {10^{\mathrm {-6} }(1+m)}{m}})$

如果孤立房間的混響時間定義為

${\frac {log_{e}10^{6}}{k}}={\frac {13.8}{k}}$

那麼總的混響時間 t 可以寫成如下形式

$t={\frac {t_{\mathrm {room} }f(m)}{n}}$ 其中 f(m) 為 ${\frac {log_{e}({\frac {10^{\mathrm {-6} }(1+m)}{m}})}{13.8}})$

在麥克風處，聲音強度的幅度 I_o 變為 ${\frac {AI_{o}}{R_{o}^{2}}}$ ，使得 A = R_o²。因此，徑向距離越大，房間內的平均聲音強度就越大。揚聲器的指向性係數可以幫助創造更擴散的聲場。因此，徑向距離 R 透過指向性係數的增加而增加。此外，已經證明，大於 75 毫秒的延遲時間會產生不希望的嘯叫聲。在這樣的簡單反饋系統中，將混響時間 T 增加到 1.5 秒以上是不明智的，因為該系統在非常接近失穩點時，至少有一個頻率具有非常長的混響時間。

在以下公式中，取 $\tau$ 為 75 毫秒，則開放空間的混響時間 t 由以下關係式定義：

$t={\frac {60\tau }{20log_{10}(A)}}$ ，其中 $\tau ={\frac {d}{c}}$ c 是空氣中的聲速，為 344 米/秒，d 是麥克風和揚聲器之間的距離。

值得注意的是，M.R. Schroeder 在他 1964 年發表的關於“透過頻移實現聲反饋穩定性”的論文中提出的研究成果。本質上，為了避免反饋迴路中出現任何型別的振鈴或嘯叫噪聲，Schroeder 建議在反饋迴路中進行 4 赫茲的頻移。結果表明，這極大地提高了系統的穩定性。然而，該方法會產生不希望出現的邊帶。由於這種現象，該方法不適用於音樂廳。為了改進 Schroeder 的方法，Guelke 和 Broadhurst 建議在系統中引入相位調製，以實現更長的混響時間和更高的系統穩定性。

根據定義，如果一個線性時不變 (LTI) 系統（如由麥克風、放大器和揚聲器的閉環反饋迴路描述的系統）不穩定，則輻射的聲波將在某些頻率上呈指數增長且無界。透過實現相位反轉開關，最初不穩定頻率的聲波將穩定。然而，一組新的曾經穩定的頻率將開始無界增長。儘管如此，這種相位反轉利用的後果是微不足道的，因為可以透過確保開關每秒啟用幾次來彌補。這種方法可以使混響時間保持恆定，同時確保所有奇怪的振鈴或嘯叫噪聲消失。

這種快速觸發開關會導致另一個問題：瞬態效應的持續存在。幸運的是，如果相位以正弦方式變化，這些效應將變得微不足道。

最終，必須選擇調製頻率，使其滿足以下條件：

1. The change in phase should be enough to stabilize the system 
2. The sidebands produced are so small that they be neglected

如果將調製頻率設定為小於延遲時間 τ 的倒數的值，則可以滿足第一個標準。可以透過確保調製頻率低於 1 赫茲來滿足第二個標準。1 赫茲的調製頻率非常低，人耳無法察覺。簡而言之，根據 τ 的定義，增加麥克風和揚聲器之間的距離以實現最小的調製頻率，這將穩定系統，並且人耳實際上無法感知到。

為了進一步瞭解如何確保相位調製為正弦，建議參考 [2] 或控制系統教科書，如果需要的話。引入如下形式的正弦相位調製器：

$\phi (t)=ksin(w_{m}t)$

引入本質上完全為正弦的調製器，極大地簡化了通常非線性的真實調製器，這極大地簡化了手頭的難題。

參考資料

[1] Kuttruff, Heinrich; 房間聲學，第四版，Spon Press 出版社，342 頁

[2] Guelke, R. W. 和 A. D. Broadhurst (1971)。“透過直接反饋控制混響時間。”Acta Acustica 與 Acustica 聯合出版，24(1): 33-41。

[3] Schroeder, M. R. (1964)。“透過頻移改善聲反饋穩定性。”美國聲學學會雜誌，36(9): 1718-1724。