工程聲學/受迫振動（簡單彈簧-質量系統）

彈簧-質量系統

彈簧-質量系統處於平衡狀態 (A)、壓縮狀態 (B) 和拉伸狀態 (C)。

當彈簧被質量拉伸或壓縮時，彈簧會產生恢復力。胡克定律給出了彈簧在壓縮或拉伸一定長度時所施加的力的關係

$F\left(t\right)=-kx\left(t\right)$

其中 F 是力，k 是彈簧常數，x 是質量相對於平衡位置的位移。

這種關係表明彈簧的距離始終與彈簧的力相反。

透過使用力平衡或能量方法，可以很容易地證明該系統的運動由以下微分方程給出

$F(t)=-kx(t)=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} {t}^{2}}}x\left(t\right)=ma.$

... 顯然，後者是牛頓第二運動定律。

如果初始位移為 A，並且沒有初始速度，則該方程的解由下式給出

$x\left(t\right)=A\cos \left({\sqrt {k \over m}}t\right).$

對於理想的無質量彈簧，$m$ 是彈簧末端的質量。如果彈簧本身有質量，則必須將它的有效質量包含在 $m$ 中。

彈簧-阻尼系統中的能量變化

從能量角度來看，所有系統都具有兩種型別的能量，勢能和動能。當彈簧被拉伸或壓縮時，它會儲存彈性勢能，然後彈性勢能被轉化為動能。彈簧內的勢能由方程 $U=k{x}^{2}/2.$ 確定。

當彈簧被拉伸或壓縮時，質量的動能被轉化為彈簧的勢能。根據能量守恆定律，假設基準定義在平衡位置，當彈簧達到最大勢能時，質量的動能為零。當彈簧被釋放時，彈簧將試圖回到平衡狀態，其所有勢能被轉化為質量的動能。