工程聲學/平面波的反射和透射

特徵聲阻抗

在討論平面波的反射和透射之前，首先研究粒子速度和聲壓之間的關係。

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {-1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}$

聲壓和粒子速度可以用複數形式描述。

$\mathbf {p} =\mathbf {P} e^{j(\omega t-Kx)}$

$\mathbf {u} =\mathbf {u_{o}} e^{j(\omega t-Kx)}$

微分並代入，

$-j\omega \mathbf {u} ={\frac {-jK\mathbf {p} }{\rho _{o}}}={\frac {-j\omega \mathbf {p} }{\rho _{o}c_{o}}}$

$\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} }{\rho _{o}c_{o}}}$

定義平面波的特徵聲阻抗。

$\mathbf {z} ={\frac {\mathbf {p} }{\mathbf {u} }}=\rho _{o}c_{o}=r_{o}$

平面波：法向入射

考慮一個在特徵聲阻抗為$r_{1}=\rho _{1}c_{1}$的無限介質中傳播的入射平面波，遇到介質1和介質2之間的邊界。部分波被反射回介質1，其餘部分被透射到特徵聲阻抗為$r_{2}=\rho _{2}c_{2}$的介質2。介質1中的壓力場由波的入射分量和反射分量的總和描述。

$\mathbf {p_{1}} =\mathbf {p_{i}} +\mathbf {p_{r}} =\mathbf {P_{i}} e^{j(\omega t-K_{1}x)}+\mathbf {P_{r}} e^{j(\omega t+K_{1}x)}$

介質2中的聲場僅由波的透射部分組成。

$\mathbf {p_{2}} =\mathbf {p_{t}} =\mathbf {P_{t}} e^{j(\omega t-K_{2}x)}$

垂直入射平面波的反射和透射。

注意，波的頻率在邊界上保持不變，但是聲阻抗在邊界上發生變化。每種介質中的傳播速度不同，因此每種介質的波數也不同。需要滿足兩個邊界條件

1. 聲壓在邊界處必須連續
2. 粒子速度在邊界處必須連續

施加第一個邊界條件得到

$\mathbf {p_{1}} (x=0)=\mathbf {p_{2}} (x=0),$

$\mathbf {P_{i}} +\mathbf {P_{r}} =\mathbf {P_{t}} .$

施加第二個邊界條件得到

$\mathbf {u_{1}} (x=0)=\mathbf {u_{2}} (x=0),$

$\mathbf {u_{i}} (x=0)+\mathbf {u_{r}} (x=0)=\mathbf {u_{t}} (x=0),$

並且使用特徵阻抗的定義，這些方程可以用聲壓表示

${\frac {\mathbf {P_{i}} }{r_{1}}}-{\frac {\mathbf {P_{r}} }{r_{1}}}={\frac {\mathbf {P_{t}} }{r_{2}}}.$

聲壓反射係數是指反射聲壓與入射聲壓之比，$\mathbf {R} ={\frac {\mathbf {P_{r}} }{\mathbf {P_{i}} }}$。聲壓透射係數是指透射聲壓與入射聲壓之比，$\mathbf {T} ={\frac {\mathbf {P_{t}} }{\mathbf {P_{i}} }}$。比聲阻抗比定義為：$\zeta ={\frac {r_{2}}{r_{1}}}$。根據以上定義，邊界條件可以改寫為

$1+\mathbf {R} =\mathbf {T}$

$1-\mathbf {R} ={\frac {\mathbf {T} }{\zeta }}.$

求解聲壓反射係數得到

$\mathbf {R} =\mathbf {T} -1={\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}={\frac {r_{2}-r_{1}}{r_{2}+r_{1}}}.$

求解聲壓透射係數得到

$\mathbf {T} =\mathbf {R} +1={\frac {2\zeta }{\zeta +1}}={\frac {2r_{2}}{r_{2}+r_{1}}}.$

求解比聲阻抗比得到

$\zeta ={\frac {1+\mathbf {R} }{1-\mathbf {R} }}={\frac {\mathbf {T} }{2-\mathbf {T} }}.$

情況一：剛性邊界

考慮一個入射平面波遇到剛性邊界。當介質2的比聲阻抗遠大於介質1的比聲阻抗時，這種情況就會發生。因此，比聲阻抗比非常大，反射係數接近1，透射係數接近2。

$\mathbf {R} =1={\frac {\mathbf {P_{r}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{r}} =\mathbf {P_{i}} \Rightarrow \mathbf {u} (x=0)=0$

$\mathbf {T} =2={\frac {\mathbf {P_{t}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{t}} =2\mathbf {P_{i}} \Rightarrow \mathbf {p} (x=0)=2\mathbf {P_{i}}$

入射波和反射波的振幅相等。反射波與入射波同相。邊界處的粒子速度為零。邊界處的聲壓振幅等於入射波壓振幅的兩倍，並且達到最大值。

情況二：彈性邊界

考慮一個遇到彈性邊界的入射平面波。如果介質 2 的特徵阻抗遠小於介質 1 的特徵阻抗，則會出現這種情況。因此，特徵聲阻抗比接近於零，反射係數接近於 -1，透射係數接近於零。

$\mathbf {R} =-1={\frac {\mathbf {P_{r}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{r}} =-\mathbf {P_{i}} \Rightarrow \mathbf {u} (x=0)={\frac {\mathbf {2P_{i}} }{r_{1}}}$

$\mathbf {T} =0={\frac {\mathbf {P_{t}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{t}} =0\Rightarrow \mathbf {p} (x=0)=0$

入射波和反射波的振幅相等。反射波與入射波反相 180 度。邊界處的粒子速度達到最大值。邊界處的聲壓為零。

情況 3：兩種介質的阻抗相等

考慮兩種具有相同特徵聲阻抗的介質，使得特徵聲阻抗比為 1，反射係數為 0，透射係數為 1。因此，波不會反射，只會透射。它的行為就像沒有邊界一樣。