工程聲學/平面波的反射和透射

在討論平面波的反射和透射之前，先研究一下粒子速度和聲壓之間的關係。

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {-1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}$

聲壓和粒子速度可以用複數形式來描述。

$\mathbf {p} =\mathbf {P} e^{j(\omega t-Kx)}$

$\mathbf {u} =\mathbf {u_{o}} e^{j(\omega t-Kx)}$

求導並代入，

$-j\omega \mathbf {u} ={\frac {-jK\mathbf {p} }{\rho _{o}}}={\frac {-j\omega \mathbf {p} }{\rho _{o}C_{o}}}$

$\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} }{\rho _{o}C_{o}}}$

定義平面波的聲阻抗。

$\mathbf {Z} ={\frac {\mathbf {p} }{\mathbf {u} }}=\rho _{o}C_{o}$

考慮一個入射平面波在聲阻抗為$r_{1}=\rho _{1}C_{1}$的介質中傳播，並遇到介質1和介質2之間的邊界。一部分波被反射回介質1，另一部分被透射到聲阻抗為$r_{2}=\rho _{2}C_{2}$的介質2中。介質1中的聲場由入射波和反射波的疊加來描述。

$\mathbf {p_{1}} =\mathbf {p_{i}} +\mathbf {p_{r}} =\mathbf {P_{i}} e^{j(\omega t-K_{1}x)}+\mathbf {P_{r}} e^{j(\omega t+K_{1}x)}$

介質2中的聲場只由透射波分量組成。

$\mathbf {p_{2}} =\mathbf {p_{t}} =\mathbf {P_{t}} e^{j(\omega t-K_{2}x)}$

垂直入射平面波的反射和透射

注意，波的頻率在邊界處保持不變，但是比聲阻抗在邊界處發生變化。每個介質中的傳播速度不同，因此每個介質的波數也不同。需要滿足兩個邊界條件。

1. 聲壓在邊界處必須連續
2. 粒子速度在邊界處必須連續

應用第一個邊界條件，

$\mathbf {p_{1}} (x=0)=\mathbf {p_{2}} (x=0)$

$\mathbf {P_{i}} +\mathbf {P_{r}} =\mathbf {P_{t}}$

應用第二個邊界條件，並使用比聲阻抗的定義，

$\mathbf {u_{1}} (x=0)=\mathbf {u_{2}} (x=0)$

$\mathbf {u_{i}} (x=0)+\mathbf {u_{r}} (x=0)=\mathbf {u_{t}} (x=0)$

${\frac {\mathbf {P_{i}} }{r_{1}}}-{\frac {\mathbf {P_{r}} }{r_{1}}}={\frac {\mathbf {P_{t}} }{r_{2}}}$

聲壓反射係數和透射係數分別定義為反射聲壓和透射聲壓與入射聲壓的比值。

$\mathbf {R} ={\frac {\mathbf {P_{r}} }{\mathbf {P_{i}} }}$

$\mathbf {T} ={\frac {\mathbf {P_{t}} }{\mathbf {P_{i}} }}$

比聲阻抗比也定義為。

$\zeta ={\frac {r_{2}}{r_{1}}}$

將上述定義應用於邊界條件，

$1+\mathbf {R} =\mathbf {T}$

$1-\mathbf {R} ={\frac {\mathbf {T} }{\zeta }}$

求解聲壓反射係數，

$\mathbf {R} =\mathbf {T} -1={\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}={\frac {r_{2}-r_{1}}{r_{2}+r_{1}}}$

求解壓力傳遞係數，

$\mathbf {T} =\mathbf {R} +1={\frac {2\zeta }{\zeta +1}}={\frac {2r_{2}}{r_{2}+r_{1}}}$

求解比聲阻抗，

$\zeta ={\frac {1+\mathbf {R} }{1-\mathbf {R} }}={\frac {\mathbf {T} }{2-\mathbf {T} }}$

情況 1：考慮一個遇到剛性邊界的入射平面波。如果介質 2 的比聲阻抗遠大於介質 1 的比聲阻抗，則這種情況就會發生。因此，比聲阻抗比非常大，反射係數接近 1，透射係數接近 2。

$\mathbf {R} =1={\frac {\mathbf {P_{r}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{r}} =\mathbf {P_{i}} \Rightarrow \mathbf {u} (x=0)=0$

$\mathbf {T} =2={\frac {\mathbf {P_{t}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{t}} =2\mathbf {P_{i}} \Rightarrow \mathbf {p} (x=0)=2\mathbf {P_{i}}$

入射波和反射波的振幅相等。反射波與入射波同相。邊界處的粒子速度為零。邊界處的聲壓振幅等於入射波壓振幅的兩倍，並且為最大值。

情況 2：考慮一個遇到彈性邊界的入射平面波。如果介質 2 的比聲阻抗遠小於介質 1 的比聲阻抗，則這種情況就會發生。因此，比聲阻抗比接近零，反射係數接近 -1，透射係數接近零。

$\mathbf {R} =-1={\frac {\mathbf {P_{r}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{r}} =-\mathbf {P_{i}} \Rightarrow \mathbf {u} (x=0)={\frac {\mathbf {2P_{i}} }{r_{1}}}$

$\mathbf {T} =0={\frac {\mathbf {P_{t}} }{\mathbf {P_{i}} }}\Rightarrow \mathbf {P_{t}} =0\Rightarrow \mathbf {p} (x=0)=0$

入射波和反射波的振幅相等。反射波與入射波$180^{\circ }$ 反相。邊界處的粒子速度為最大值。邊界處的聲壓為零。

案例 3： 考慮兩種具有相同聲學阻抗的介質，使得聲學阻抗比為 1，反射係數為零，透射係數為 1。因此，波不會反射，只會被透射。它的行為就好像沒有邊界一樣。