工程聲學/圓形管道中具有順應性壁的聲傳播

在具有順應性壁的管道中，聲傳播的應用很多。這些應用範圍從液壓應用（例如水錘）到生物力學應用（例如動脈中的壓力脈衝）。在研究圓形管道中的聲傳播時，管道壁通常被認為是剛性的，因此流體中的任何壓力擾動都不會影響管道壁。然而，如果假設管道壁是順應性的，即在遇到壓力擾動時，管道壁可以變形，那麼這將改變聲傳播的速度。在現實中，如果流體中的壓力擾動（它是流體密度的函式）非常小，以至於管道壁的變形可以忽略不計，那麼剛性壁假設將是有效的。但是，如果假設管道壁很薄，即半徑的 1/20 或更小，或者如果管道壁由楊氏模量和密度較低的塑膠材料製成，或者如果所含流體是“重”的，那麼剛性壁近似將不再成立。在這種情況下，假設管道壁是順應性的。

在 Morse & Ingard [1] 的書中，壁剛度定義為 K_w，它是壓力擾動 p 與由 p 引起的管道橫截面積分數變化的比率。當然，這種壓力擾動 p 不是靜止的，必須考慮壁的慣性。由於壁的變形是由流體中的壓力擾動引起的，因此這是一個典型的流體-結構相互作用問題，其中流體中的壓力擾動會導致結構變形，而結構變形反過來又會修改壓力擾動。

與聲音在具有剛性壁的管道中傳播不同，在剛性壁管道中，聲壓沿管道軸向傳播；一部分壓力用於徑向拉伸管道。顯然，由於包含了管道壁的位移，這變成了一個流體-結構相互作用問題。

分析

在本分析中，預計傳播速度將取決於管道壁的材料特性，即楊氏模量和密度。此外，隨著分析的展開，很明顯傳播速度將隨激發頻率而變化，這與剛性壁管道中的波傳播不同。請記住，這裡介紹的分析非常簡單。當然，根據流體和結構模型的不同，可以得到更準確的結果。在本分析中，目標是提供對具有順應性壁的圓形管道中聲傳播的基本物理理解。

假設

1. 一維分析
2. 所有粘性和熱耗散都被忽略
3. 分析是按單位長度進行的
4. 不考慮平均流速

流體

這裡將考慮兩個簡化的流體方程

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=\kappa {\frac {\partial p}{\partial t}}\dots \dots .Eq(1)$

和

$-{\frac {\partial p}{\partial x}}={\rho }_{f}{\frac {\partial u}{\partial t}}\dots \dots .Eq(2)$

其中 $\kappa ={\frac {1}{{\rho }_{f}c^{2}}}$，$u$ 是流體質點速度，$p$ 是流體壓力。

第一個方程是連續性方程，其中密度項透過應用理想氣體定律 $p=\rho RT$ 和等熵氣體定律 $c^{2}=\gamma RT$ 被替換為壓力項。

由於順應性壁的存在，流體經歷了額外的壓縮性效應，根據 Morse & Ingard [1]，這種額外的壓縮性是根據壁剛度 (K) 推匯出來的。壁剛度定義為壓力與橫截面積分數變化的比率。透過將 K 引入方程 1，得到

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=\left(\kappa +{\frac {1}{K}}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}\dots \dots Eq\left(3\right)$

如果考慮管道的質量，則必須包含額外的質量引數 M_w。

然後，壁的總剛度阻抗為

$Z_{w}=j\omega M_{w}+{\frac {K_{w}}{j\omega }}=j{\frac {M_{w}}{\omega }}\left({\omega }^{2}-{\omega }_{n}^{2}\right)$

將該牆壁阻抗視為一個順應性項（即 $K=j\omega Z_{w}$），代入方程式 3 得

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=\left(\kappa +{\frac {1}{M_{w}({{\omega }_{n}^{2}-\omega }^{2})}}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}$

這裡，${\omega }_{n}={\sqrt {\frac {K_{w}}{M_{w}}}}$.

此外，透過提取 ${\kappa }$，該表示式變為

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=\kappa \left({\frac {M_{w}\left({{\omega }_{n}^{2}-\omega }^{2}\right)+{\rho }_{f}c^{2}}{M_{w}({{\omega }_{n}^{2}-\omega }^{2})}}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}$

經過一些操作，它得到

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=\kappa \left({\frac {{{\omega }_{1}^{2}-\omega }^{2}}{{{\omega }_{n}^{2}-\omega }^{2}}}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}$

其中 ${\omega }_{1}^{2}={\omega }_{n}^{2}+{\frac {{\rho }_{f}c^{2}}{M_{w}}}$

對於剛性壁，當 $K_{w}\to \infty$，${\omega }_{n}^{2}\to \infty$，${\omega }_{1}^{2}\to \infty$，因此，$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=\kappa {\frac {\partial p}{\partial t}}$，這將回到方程式 1。

如果使用阻抗類比，即壓力是電壓，速度是電流，那麼

$C=\ \kappa \left({\frac {{{\omega }_{1}^{2}-\omega }^{2}}{{{\omega }_{n}^{2}-\omega }^{2}}}\right)$ ，其中 C 是每單位長度的壁順性。

聲速由 ${\sqrt {\frac {1}{LC}}}$ 決定，因此

$c_{p}=c{\sqrt {\left({\frac {{{\omega }_{n}^{2}-\omega }^{2}}{{{\omega }_{1}^{2}-\omega }^{2}}}\right)}}$

這裡，$c_{p}$ 是相速度，它取決於激勵頻率，${\omega }$，聲波是色散的。當激勵頻率低於固有頻率，${\omega }_{n}$ 時，相速度低於流體中自由波速度。

下一步是識別 K_w 和 M_w，這將透過結構響應確定。

結構

假設未變形管道的直徑為 D，變形後變為 $D+\triangle D$。在這種情況下，面積變化為 ${\frac {\pi }{4}}\left(2D\triangle D+{\left(\triangle D\right)}^{2}\right)$。兩者之間的比率為 ${\frac {\triangle A}{A}}={\frac {2\triangle D}{D}}+{\left({\frac {\triangle D}{D}}\right)}^{2}$。因此，壁剛度為

$K_{w}={\frac {\triangle pD}{2\triangle D}}$.

其中，該值的倒數被稱為柔度或 可擴張性（一個生物醫學術語）。

為了確定項 ${\frac {\triangle D}{D}}$，有必要利用牛頓定律和胡克定律來觀察結構響應。

考慮一個直徑為 D、厚度為 h、張力為 T 的半管橫截面，

圓柱形管道的環嚮應力由下式給出，

$\sigma =p{\frac {D}{2h}}$。應用胡克定律，可以確定應變 $\varepsilon$，透過

$\varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}$.

進行一些替換後，

$\varepsilon ={\frac {pD}{2hE}}$

對於小應變，

$\Delta \varepsilon ={\frac {\Delta pD}{2hE}}={\frac {\Delta D}{D}}$。因此，

$K_{w}=E{\frac {h}{D}}$

這就是壁剛度，它僅僅是管道彈性特性的函式。

如果考慮管道每單位長度的質量，則

$M_{w}={\rho }_{s}\pi h(D+h)$.

最後，可以繪製相速度和壁阻抗與激勵頻率的關係圖。

討論

在模擬中，厚度與直徑之比，${\frac {h}{D}}$ 為 0.1，材料為鋼，其$\rho =7800{\frac {kg}{m^{3}}}$ 和 $E=2x10^{11}Pa$。假設內部填充的流體為空氣，其$\rho =1.21{\frac {kg}{m^{3}}}$，自由波速為 $c=343{\frac {m}{s}}$。

檔案：Tws1.jpg

在此圖中，“o”表示相速度的實部，“+”表示相速度的虛部。直線表示空氣中的聲速，數值為 $c=343{\frac {m}{s}}$。在此圖中，波的傳播只有在相速度為實數時才有可能。有兩個重要的頻率值得我們密切關注。第一個是空結構的固有頻率，即 ${\omega }_{n}$，以及流體負載結構的固有頻率，${\omega }_{1}$。在此圖中，${\omega }_{n}=450Hz$，而${\omega }_{1}=550Hz$。

與剛性管道中的一維波傳播不同，在剛性管道中傳播速度是恆定的，相速度取決於激勵頻率。結果表明，隨著激勵頻率接近 ${\omega }_{n}$，傳播速度會降低。在 ${\omega }_{n}$ 和 ${\omega }_{1}$ 之間，相速度為虛數，這意味著這兩個頻率之間沒有波可以傳播。一旦頻率超過 ${\omega }_{1}$，相速度大於 343 m/s 的自由波速。隨著激勵頻率的增加，相速度接近自由波速。

當激勵頻率增加時，部分流體能量被用來激勵管子，直到激勵頻率與 ${\omega }_{n}$ 相匹配。超過 ${\omega }_{n}$，由於這兩個頻率之間，沒有真正的波傳播。

對於一個非常堅硬的管子，例如 $E=2x10^{20}Pa$，相速度正好等於空氣中的自由波速，這是一個常數。這與之前討論的在一維剛性管道中的波傳播一致。

檔案:Tws2.jpg

當剛度降低到鋼的 1/100 時，與鋼管相比，存在許多差異。首先，在低頻下，相速度較慢。這是因為較低的壁剛度，壁更容易拉伸，因此可以吸收更多能量。此外，該系統具有更低的 ${\omega }_{n}$ 和 ${\omega }_{1}$。

檔案:Tws3.jpg

從以上分析，可以得出以下結論：

1. 管子的剛度、壁厚和密度會顯著影響相速度。

2. 剛度的降低會降低低頻的傳播速度。波在更低的頻率下也變得衰減。這是因為自然頻率降低了。隨著剛度的增加，傳播速度接近自由波速，無論頻率範圍如何。這就是剛性壁的情況。

3. 具有柔性壁的管道中的波傳播速度是色散的，因為它很大程度上取決於頻率。相速度與剛性壁中的相速度有很大差異。

4. 非傳播區稱為阻帶。這裡，可以修改壁的特性來建立更大的阻帶。因此，具有柔性壁的管道可以被視為一種帶通濾波器。

參考文獻

[1]. Morse & Ingard (1968), "Theoretical Acoustics", Princeton University Press, Princeton, New Jersey