工程聲學/彈性固體中的波運動

波型別

在無限介質中，兩種不同的基本波型別，膨脹波和扭曲波，可以以不同的傳播速度傳播。膨脹波導致其傳播的介質體積發生變化，但沒有旋轉；而扭曲波涉及旋轉，但沒有體積變化。具有位移場、應變場和應力場可以作為結果確定。

                                                       Figure 1: Dilatational wave

                                                       Figure 1: Distortional wave

彈性方程

用於推匯出笛卡爾張量表示法中的波動方程的均勻各向同性彈性固體的彈性方程是

動量守恆

$\tau _{ij,j}+\rho f_{i}=\rho {\ddot {u_{i}}},\ (1)$

角動量守恆

$\tau _{ij}=\tau _{ji},\ (2)$

本構方程（將變形狀態與牽引狀態聯絡起來）

$\tau _{ij,j}=\lambda \epsilon _{kk}\delta _{ij}+2\mu \epsilon _{ij},\ (3)$

應變-位移關係

$\epsilon _{ij}={1 \over 2}(u_{i,j}+u_{j,i}),\ (4a)$

$\omega _{ij}={1 \over 2}(u_{i,j}-u_{j,i}),\ (4b)$

其中 $\scriptstyle \tau$ 是應力張量，$\scriptstyle \rho$ 是固體材料密度，並且 $\scriptstyle \mathbf {u}$ 是向量位移。 $\scriptstyle f$ 是體力，$\scriptstyle \lambda$ 和 $\scriptstyle \mu$ 是拉梅常數。 $\scriptstyle \epsilon$ 和 $\scriptstyle \omega$ 是應變和旋轉張量。

無限介質中的波動方程

將公式 (4) 代入公式 (3)，並將結果代入公式 (1)，得到介質的 Navier 方程（以位移表示的控制方程）

$(\lambda +2\mu )u_{j,ji}+\mu u_{i,jj}+\rho f_{i}=\rho {\ddot {u_{i}}}.\ (5)$

在沒有體力的情況下，均勻各向同性固體的位移運動方程可以表示為

$(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}.\ (6)$

位移可以有利地表示為標量勢的梯度和向量勢的旋度的和

$\mathbf {u} =\nabla \phi \ +\nabla \times \psi ,\ (7)$

條件為 $\nabla \cdot \psi =0$. 上述方程稱為亥姆霍茲（分解）定理，其中 $\scriptstyle \phi$ 和 $\scriptstyle \psi$ 被稱為標量和向量位移勢。將公式 (7) 代入公式 (6) 得到

$[(\lambda +2\mu )\nabla ^{2}\phi \ -\rho {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}]+\nabla \times \ [\mu \nabla ^{2}\psi -\rho {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}]=0.\ (8)$

公式 (8) 在以下情況下成立

$c_{p}^{2}\nabla ^{2}\phi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}$ 其中 $c_{p}^{2}={\frac {(\lambda +2\mu )}{\rho }},\ (9a)$

$c_{s}^{2}\nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$ 其中 $c_{s}^{2}={\frac {\mu }{\rho }}.\ (9b)$

公式 (9a) 是一個膨脹波方程，傳播速度為 $\scriptstyle c_{p}$。這意味著膨脹擾動，或體積變化以速度 $\scriptstyle c_{p}$ 傳播。公式 (9b) 是一個畸變波方程，因此畸變波以速度 $\scriptstyle c_{s}$ 在介質中傳播。畸變波也被稱為旋轉波、剪下波或橫波。

可以看出，這些波動方程比一般的運動方程更簡單。因此，可以從公式 (9) 和邊界條件和初始條件中找到勢，然後從公式 (7) 中得出位移的解。

參考文獻

[1] 彈性固體中的波運動; 卡爾·F·格拉夫，俄亥俄州立大學出版社，1975 年。

[2] 彈性波的衍射和動態應力集中; 曹兆洲，包義興，1971 年。