工程分析/任意基底展開

經典傅立葉級數使用以下基底

$\phi (x)={1,\sin(n\pi x),\cos(n\pi x)},n=1,2,...$

然而，我們可以將這個概念推廣到 L₂ 空間中的任何正交基集。

我們可以說，如果我們有一個正交基集，它由無限個任意、正交的 L₂ 函式組成

$\phi ={\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,}$

我們可以用這個基集來定義任何 L₂ 函式 f(x)

[廣義傅立葉級數]

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(x)$

使用上一章的方法，我們可以用以下公式求解係數

[廣義傅立葉係數]

$a_{n}={\frac {\langle f(x),\phi _{n}(x)\rangle }{\langle \phi _{n}(x),\phi _{n}(x)\rangle }}$