工程分析/巴拿赫空間和希爾伯特空間

有一些特殊的空間被稱為巴拿赫空間和希爾伯特空間。

收斂函式

讓我們定義分段函式φ(x)為

$\phi _{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}0&x\leq 0\\nx&0<x\leq {\frac {1}{n}}\\1&{\frac {1}{n}}<x\end{matrix}}\right.$

我們可以看到，當我們設定 $n\to \infty$ 時，此函式變為單位階躍函式。我們可以說，當 n 趨於無窮大時，此函式收斂於單位階躍函式。請注意，此函式僅在 L₂ 空間中收斂，因為單位階躍函式在 C 空間中不存在（它不連續）。

收斂

我們可以說函式φ收斂於函式φ^*，如果

$\lim _{n\to \infty }\|\phi _{n}-\phi ^{*}\|=0$

我們可以稱其為序列，所有這些收斂於給定函式的序列，當 n 趨於無窮大時，被稱為柯西序列。

完備函式空間

如果一個函式空間中所有的序列都收斂於該空間中的另一個函式，那麼該函式空間被稱為完備的。

巴拿赫空間

巴拿赫空間是一個完備的賦範函式空間。

希爾伯特空間

希爾伯特空間是關於由內積匯出的範數的巴拿赫空間。也就是說，如果空間 X 中存在內積，那麼如果我們可以寫成

$\|f\|=g(\langle f,f\rangle )$

也就是說，範數可以寫成內積的函式。在 L₂ 空間中，我們可以定義範數為

$\|f\|={\sqrt {\langle f,f\rangle }}$

如果內積空間是一個巴拿赫空間，那麼範數空間也是一個巴拿赫空間。

在希爾伯特空間中，平行四邊形法則對函式空間中的所有成員 f 和 g 成立

$\|f+g\|^{2}+\|f-g\|^{2}=2\|f\|^{2}+2\|g\|^{2}$

L₂ 空間是一個希爾伯特空間。然而，C 空間卻不是。