工程分析/對角化

相似性

如果存在一個可逆矩陣 T，使得矩陣 A 和 B 滿足以下關係，則稱矩陣 A 和 B 相似。

$T^{-1}AT=B$

如果存在這樣的矩陣 T，那麼這些矩陣是相似的。相似矩陣具有相同的特徵值。如果 A 的特徵向量為 v₁，v₂ ...，則 B 的特徵向量 u 由下式給出：

$u_{i}=Tv_{i}$

矩陣對角化

一些矩陣可以使用過渡矩陣 T 與對角矩陣相似。如果以下等式成立，則稱矩陣 A 可對角化

$T^{-1}AT=D$

其中 D 是對角矩陣。一個 n × n 方陣可對角化的充要條件是它具有 n 個線性無關的特徵向量。

過渡矩陣

如果一個 n × n 方陣具有 n 個不同的特徵值 λ，因此有 n 個不同的特徵向量 v，我們可以建立一個過渡矩陣 T 如下所示：

$T=[v_{1}v_{2}...v_{n}]$

對矩陣 X 進行變換得到

$T^{-1}AT={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}$

因此，如果矩陣有 n 個不同的特徵值，則矩陣可對角化，對角矩陣的對角線元素是矩陣的相應特徵值。

復特徵值

考慮矩陣 A 具有一個或多個複共軛特徵值對的情況。A 的特徵向量也將是複數。所得對角矩陣 D 將具有復特徵值作為對角線元素。在工程應用中，處理復矩陣通常不是一個好主意，因此可以使用其他矩陣變換來建立“近似對角”的矩陣。

廣義特徵向量

如果矩陣 A 沒有一組完整的特徵向量，也就是說，它們有 d 個特徵向量和 n - d 個廣義特徵向量，那麼矩陣 A 不可對角化。然而，我們可以實現第二好的結果，即矩陣 A 可以被轉化為一個約旦標準型矩陣。每個由單個特徵向量基形成的廣義特徵向量集合將建立一個約旦塊。所有不產生任何廣義特徵向量的不同特徵向量將在約旦矩陣中形成一個對角塊。