工程分析/特徵值和特徵向量

特徵問題

本頁面將討論特徵向量和特徵值的概念，它們是線性代數中的重要工具，在狀態空間控制系統中發揮著重要作用。簡單地說，“特徵問題”是指給定一個 n × n 的方陣 A，存在一組 n 個標量值 λ 和 n 個對應的非零向量 v，使得

$Av=\lambda v$

我們將 λ 稱為 A 的特徵值，我們將v 稱為 A 的對應特徵向量。我們可以將這個方程重新排列為

$(A-\lambda I)v=0$

為了使這個方程滿足，以便 v 為非零，矩陣 (A - λI) 必須為奇異矩陣。也就是說

$|A-\lambda I|=0$

特徵方程

方陣 A 的特徵方程由下式給出：

[特徵方程]

$|A-\lambda I|=0$

其中 I 是單位矩陣，λ 是矩陣 A 的特徵值集合。從這個方程我們可以求解 A 的特徵值，然後利用上面討論的方程，我們可以計算相應的特徵向量。

一般情況下，我們可以將特徵方程展開為

[特徵多項式]

$|A-\lambda I|=(-1)^{n}(\lambda ^{n}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +c_{1}\lambda ^{1}+c_{0})$

這個方程滿足以下性質

1. $|A|=(-1)^{n}c_{0}$
2. 如果 c₀ 不為零，則 A 為非奇異矩陣。

示例：2 × 2 矩陣

假設 X 是一個二階方陣，如下所示

$X={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

然後我們可以將這個值代入我們的特徵方程

${\begin{vmatrix}a-\lambda &b\\c&d-\lambda \end{vmatrix}}=0$

$(a-\lambda )(d-\lambda )-(b)(c)=0$

上述方程的根（滿足等式的 λ 值）是 X 的特徵值。

特徵值

矩陣 X 的特徵方程的解 λ 被稱為矩陣 X 的特徵值。

特徵值滿足以下性質

1. 如果 λ 是 A 的特徵值，則 λⁿ 是 Aⁿ 的特徵值。
2. 如果 λ 是 A 的復特徵值，則 λ^*（複共軛）也是 A 的特徵值。
3. 如果 A 的任何特徵值為零，則 A 為奇異矩陣。如果 A 為非奇異矩陣，則 A 的所有特徵值均不為零。

特徵向量

特徵方程可以改寫如下

$Xv=\lambda v$

其中 X 是所考慮的矩陣，λ 是矩陣 X 的特徵值。對於每個獨特的特徵值，都有一個方程的解向量 v，稱為特徵向量。上述方程也可以改寫為

$|X-\lambda I|v=0$

其中對於每個特徵值 λ，v 的結果值是 X 的特徵向量。對於 X 的每個唯一特徵值，都有一個唯一的特徵向量。從這個方程中，我們可以看出 A 的特徵向量構成了零空間

$v={\mathcal {N}}\{A-\lambda I\}$

因此，我們可以透過對該矩陣進行行變換來找到特徵向量。

特徵向量滿足以下性質

1. 如果 v 是 A 的復特徵向量，則 v^*（複共軛）也是 A 的特徵向量。
2. A 的不同特徵向量是線性無關的。
3. 如果 A 是 n × n 矩陣，並且存在 n 個不同的特徵向量，則 A 的特徵向量構成 ${\mathcal {R}}^{n}$ 的一組完整基。

廣義特徵向量

假設矩陣A具有以下特徵多項式

$(A-\lambda I)=(-1)^{n}(\lambda -\lambda _{1})^{d_{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{d_{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{s})^{d_{s}}$

其中 d₁、d₂、... 、d_s 被稱為特徵值 λ_i 的代數重數。還要注意 d₁ + d₂ + ... + d_s = n，並且 s < n。換句話說，A 的特徵值是重複的。因此，這個矩陣沒有 n 個不同的特徵向量。但是，我們可以透過滿足以下方程來建立稱為廣義特徵向量的向量，以彌補缺失的特徵向量。

$(A-\lambda I)^{k}v_{k}=0$

$(A-\lambda I)^{k-1}v_{k}=0$

右特徵向量和左特徵向量

確定特徵向量的方程為

$(A-\lambda I)v=0$

由於特徵向量v在右側，因此它們更恰當地被稱為“右特徵向量”。但是，如果我們將方程改寫如下

$u(A-\lambda I)=0$

向量u被稱為矩陣 A 的“左特徵向量”。