工程分析/傅立葉級數

L₂空間是一個無限函式空間，因此任何無限正交函式集的線性組合都可以用來表示L₂空間中的任何單個成員。L₂函式根據無限基集分解的技術被稱為該函式的傅立葉分解，併產生稱為傅立葉級數的結果。

傅立葉基

讓我們考慮一組L₂函式，$\phi$，如下所示

$\phi =\{1,\sin(\pi x),\cos(\pi x),\sin(2\pi x),\cos(2\pi x),\sin(3\pi x),\cos(3\pi x)...\}.\$

我們可以證明，在範圍 $[0,2\pi ]$ 內，所有這些函式都是正交的

$\int _{0}^{2\pi }1\cdot \cos(n\pi x)dx=0$

$\int _{0}^{2\pi }1\cdot \sin(n\pi x)dx=0$

$\int _{0}^{2\pi }\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)dx=0,n\neq m$

$\int _{0}^{2\pi }\sin(n\pi x)\cos(m\pi x)dx=0$

$\int _{0}^{2\pi }\cos(n\pi x)\cos(m\pi x)dx=0,n\neq m$

因為 $\phi$ 是L₂中無限正交集，$\phi$ 也是L₂空間中一個有效的基集。因此，我們可以將L₂中的任何函式分解為以下總和

[經典傅立葉級數]

$\psi (x)=a_{0}(1)+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin(n\pi x)+\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}\cos(m\pi x)$

然而，當我們需要計算 a 和 b 係數時，就會遇到困難。我們將在下面展示如何進行計算。

a₀：常數項

a₀ 的計算最為簡單，因此我們將首先展示如何計算它。我們使用 a₀ 的值來最小化傅立葉級數逼近 $f(x)$ 的誤差。

首先，定義一個誤差函式 E，它等於函式 f(x) 和上面無限和之間的差的平方範數。

$E={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\|f(x)-a_{0}(1)-\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin(n\pi x)-\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}\cos(m\pi x)\|^{2}dx$

為了方便，我們將所有基函式寫成集合 φ，如上所述。

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\phi _{i}=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin(n\pi x)+\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}\cos(m\pi x)$

將最後兩個函式組合在一起，並將範數寫成積分，我們可以說

$E={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }|\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\phi _{i}|^{2}dx$

我們嘗試最小化關於常數項的誤差函式。為此，我們對兩邊關於 a₀ 進行微分，並將結果設為零。

$0={\frac {\partial E}{\partial a_{0}}}=\int _{0}^{2\pi }(f(x)-\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\phi _{i}(x))(-\phi _{0}(x))dx$

φ₀ 項從和式中移出是由於鏈式法則：它是整個和式中唯一依賴於 a₀ 的項。我們可以將上面的積分分離如下：

$\int _{0}^{2\pi }(f(x)-\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\phi _{i})(-\phi _{0})dx=-\int _{0}^{2\pi }f(x)\phi _{0}(x)dx+a_{0}\int _{0}^{2\pi }\phi _{0}(x)\phi _{0}(x)dx$

所有其他項都從無限和式中消失了，因為它們都與 φ₀ 正交。同樣，我們可以用標量積來改寫上面的方程

$0=-\langle f(x),\phi _{0}(x)\rangle +a_{0}\langle \phi _{0}(x),\phi _{0}(x)\rangle$

透過求解上述方程，我們可以得到常數項係數的最終結果

$a_{0}={\frac {\langle f(x),\phi _{0}(x)\rangle }{\langle \phi _{0}(x),\phi _{0}(x)\rangle }}$

正弦項係數

使用上述方法，我們可以求解正弦項係數 a_n

$a_{n}={\frac {\langle f(x),\sin(n\pi x)\rangle }{\langle \sin(n\pi x),\sin(n\pi x)\rangle }}$

餘弦項係數

同樣使用上述方法，我們可以求解餘弦項係數 b_n

$b_{n}={\frac {\langle f(x),\cos(n\pi x)\rangle }{\langle \cos(n\pi x),\cos(n\pi x)\rangle }}$