工程分析/函式空間

函式空間

函式空間是一個線性空間，其中空間的所有元素都是函式。具有範數運算的函式空間被稱為範數函式空間。我們考慮的空間都將是範數空間。

連續性

f(x) 在 x₀ 處連續，如果對於每個 ε > 0，存在 δ(ε) > 0，使得當 |x - x₀| < δ(ε) 時，|f(x) - f(x₀)| < ε。

常見函式空間

這裡列出了一些常見的函式空間。這不是一個詳盡的列表。

C 空間

C 函式空間是所有連續函式的集合。

C 空間的度量定義為

$\rho (x,y)_{L_{2}}=\max |f(x)-g(x)|$

考慮 sin(x) 和 cos(x) 的度量

$\rho (sin(x),cos(x))_{L_{2}}={\sqrt {2}},x={\frac {3\pi }{4}}$

C^p 空間

C^p 是所有連續函式的集合，其前 p 個導數也是連續的。如果 $p=\infty$，則該函式稱為“無限連續”。集合 $C^{\infty }$ 是所有此類函式的集合。一些無限連續的函式例子包括指數函式、正弦函式和多項式。

L 空間

L 空間是所有在給定區間 [a, b] 上有限可積的函式的集合。

f(x) 屬於 L(a, b)，如果

$\int _{a}^{b}|f(x)|dx<\infty$

L _p 空間

L_p 空間是所有在給定區間 [a, b] 上升至 p 次方時有限可積的函式的集合

$\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx<\infty$

對工程來說，最重要的是 L₂ 空間，或者“平方可積”函式的集合。