工程分析/矩陣

導數

考慮以下線性方程組

$a=bx_{1}+cx_{2}$

$d=ex_{1}+fx_{2}$

我們可以定義矩陣A來表示係數，向量B作為結果，向量x作為變數

$A={\begin{bmatrix}b&c\\e&f\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}a\\d\end{bmatrix}}$

$x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}$

然後用矩陣重新寫方程，我們得到

$B=Ax$

現在，假設我們想要這個方程關於向量x的導數

${\frac {d}{dx}}B={\frac {d}{dx}}Ax$

我們知道第一項是常數，所以等式左邊的導數為零。分析右邊，我們發現

偽逆

有一些被稱為偽逆的特殊矩陣，它們滿足逆矩陣的部分性質，但並不滿足其他性質。概括來說，如果我們有兩個n × n的方陣A和B，那麼如果以下等式成立，我們就說A是B的逆矩陣，B是A的逆矩陣

$AB=BA=I$

右偽逆

考慮以下矩陣

$R=A^{T}[AA^{T}]^{-1}$

我們稱這個矩陣R為A的右偽逆，因為

$AR=I$

但

$RA\neq I$

我們將 A 的右偽逆表示為 $A^{\dagger }$

左偽逆

考慮以下矩陣

$L=[A^{T}A]^{-1}A^{T}$

我們稱 L 為 A 的左偽逆，因為

$LA=I$

但

$AL\neq I$

我們將 A 的左偽逆表示為 $A^{\ddagger }$